lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

504 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
EJEMPLO 1 Una transformación 1-1 de
2
en
2
⎛ ⎞ ⎛
⎞
2 2
Defina T : S por T
x x2
y
⎝
⎜
⎠
⎟ 5
y ⎝
⎜
2x2
y⎠
⎟ Es sencillo encontrar
ν(A T
) 5 0 y N AT
5 nu T 5 {0}. Por lo tanto T es 1-1.
⎛ 1 21⎞
A T
5
⎝
⎜
2 1⎠
⎟ y ρ(A ) 5 2; así,
T
2 2
EJEMPLO 2 Una transformación de en que no es 1-1
⎛
2 2
Defina T : S por T
x ⎞ ⎛ x2
y⎞
⎛ 1 21⎞
⎝
⎜
y⎠
⎟ 5
⎝
⎜
2x1
2y
⎠
⎟ . Entonces A T
5
⎝
⎜
2 22 ⎠
⎟ , ρ(A ) 5 1 y ν(A ) 5 1; por
T T
⎛
lo tanto, ν(T ) 5 1 y T no es 1-1. Observe, por ejemplo, que T 1 ⎞
⎛ ⎞
⎝
⎜
1⎠
⎟ 50 5T 0 ⎝
⎜
0⎠
⎟
DEFINICIÓN 2
Transformación sobre
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre W o simplemente
sobre, si para todo w ∈ W existe cuando menos una v ∈ V tal que Tv 5 w. Es
decir, T es sobre W si y sólo si Im T 5 W.
Nota. Una transformación sobre se denomina también suprayectiva.
EJEMPLO 3
Cómo determinar si una transformación es sobre
2
En el ejemplo 1, ρ(A T
) 5 2; entonces Im T 5 y T es sobre. En el ejemplo 2, ρ(A T
) 5 1 e
⎧⎪
⎛ 1⎞
⎫⎪
Im T 5 gen ⎨
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎬ ≠ 2
, por lo tanto, T no es sobre.
⎩⎪ 2 ⎭⎪
TEOREMA 2 Sea T : V S W una transformación lineal y suponga que dim V 5 dim W 5 n.
i. Si T es 1-1 entonces T es sobre.
ii. Si T es sobre, entonces T es 1-1.
DEMOSTRACIÓN Sea A T
una representación matricial de T. Entonces si T 1-1, nu T 5 {0} y ν(A T
) 5 0,
lo que significa que ρ(T ) 5 ρ(A T
) 5 n 2 0 5 n de manera que Im T 5 W. Si T es sobre,
entonces ρ(A T
) 5 n, por lo tanto ν(T ) 5 ν(A T
) 5 0 y T es 1-1.
TEOREMA 3
DEMOSTRACIÓN
Sea T: V S W una transformación lineal. Suponga que dim V 5 n y dim W 5 m. Entonces
ii. Si n . m, T no es 1-1.
ii. Si m . n, T no es sobre.
ii. Sea {v 1
, v 2
, . . . , v n
} una base para V. Sea w i
5 Tv i
para i 5 1, 2, . . . , n y observe el
conjunto S 5 {w 1
, w 2
, . . . , w n
}. Como m 5 dim W , n, el conjunto S es linealmente
independiente. Así, existen escalares, no todos cero, tales que c 1
w 1
1 c 2
w 2
1 . . . 1