lgebra Lineal;Stanley I. Grossman

472 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales
5.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: IMAGEN Y NÚCLEO
En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales.
TEOREMA 1 Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v 1
,
v 2
, . . . , v n
en V y todos los escalares a 1
, a 2
, . . . , a n
:
i. T (0) 5 0
ii. T (u 2 v) 5 T u 2 T v
iii. T (a 1
v 1
1 a 2
v 2
1. . .1 a n
v n
) 5 a 1
T v 1
1 a 2
T v 2
1. . .1 a n
T v n
Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la
derecha es el vector cero en W.
DEMOSTRACIÓN
i. T (0) 5 T (0 1 0) 5 T (0) 1 T (0). Así,
0 5 T (0) 2 T (0) 5 T (0) 1 T (0) 2 T (0) 5 T (0)
ii. T (u 2 v) 5 T [u 1 (21)v] 5 T u 1 T [(21)v] 5 T u 1 (21)T v 5 T u 2 T v.
iii. Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n 5 2 se tiene T (a 1
v 1
1 a 2
v 2
) 5 T (a 1
v 1
) 1 T (a 2
v 2
) 5 a 1
T v 1
1 a 2
T v 2
. Así, la ecuación (1) se cumple para
n 5 2. Se supone que se cumple para n 5 k y se prueba para n 5 k 1 1: T (a 1
v 1
1
a 2
v 2
1. . .1 a k
v k
1 a k 1 1
v k 1 1
) 5 T (a 1
v 1
1 a 2
v 2
1. . .1 a k
v k
) 1 T (a v ), y usando
k 1 1 k 1 1
la ecuación en la parte iii) para n 5 k, esto es igual a (a 1
T v 1
1 a 2
T v 2
1. . .1 a k
T v k
)
1 a k 1 1
T v k 1 1
, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.
Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii).
Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completa mente determinadas
por el efecto sobre los vectores de la base.
TEOREMA 2 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B 5 {v 1
, v 2
, . . . , v n
}. Sean w 1
,
w 2
, . . . , w n
vectores en W. Suponga que T 1
y T 2
son dos transformaciones lineales de V
en W tales que T 1
v i
5 T 2
v i
5 w i
para i 5 1, 2, . . . , n. Entonces para cualquier vector v ∈
V, T 1
v 5 T 2
v; es decir T 1
5 T 2
.
DEMOSTRACIÓN
Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares a 1
, a 2
, . . . , a n
tales
que v 5 a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
. Entonces, del inciso iii) del teorema 1,
T 1
v 5 T 1
(a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
) 5 a 1
T 1
v 1
1 a 2
T 1
v 2
1 . . . 1 a n
T n
v n
De manera similar
5 a 1
w 1
1 a 2
w 2
1 . . . 1 a n
w n
T 2
v 5 T 2
(a 1
v 1
1 a 2
v 2
1 . . . 1 a n
v n
) 5 a 1
T 2
v 1
1 a 2
T 2
v 2
1 . . . 1 a n
T n
v n
Por lo tanto, T 1
v 5 T 2
v.
5 a 1
w 1
1 a 2
w 2
1 . . . 1 a n
w n