Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
Mit diesen ξ k bilden wir die Linearkombination
a :≡
l∑
ξ k a k
k=1
und erhalten aufgrund von (4.24) und (4.25)
a =
l∑ ( ∑
m )
ξ k τ ik b i =
k=1
i=1
m∑ ( l∑
τ ik ξ k
i=1
k=1
was zeigt, dass a 1 , . . . , a l linear abhängig sind.
} {{ }
= 0 (∀i)
)
b i = o ,
Betrachten wir noch den Fall V = E n , wo das Erzeugendensystem
{b 1 , . . . , b m } und die Menge {a 1 , . . . , a l } (mit l > m) aus Kolonnenvektoren
bestehen und als Kolonnen von Matrizen aufgefasst
werden können:
B = ( b 1 . . . b m
)
, A =
(
a1 . . . a l
)
. (4.26)
Mit der m × l Matrix T = ( τ ik
)
kann man dann (4.24) als
A = BT (4.27)
schreiben. Da m < l ist, hat das homogene System Tx = o eine
nichttriviale Lösung, und für diese gilt
Ax = BTx = Bo = o . (4.28)
Dies bedeutet gerade, dass die Kolonnen {a 1 , . . . , a l } von A linear
abhängig sind.
Bei unserer Konstruktion einer Basis in Lemma 4.6 sind wir von
einem Erzeugendensystem ausgegangen und haben dieses schrittweise
verkleinert. Man kann auch eine linear unabhängige Menge
schrittweise zu einer Basis vergrössern:
Satz 4.9 Jede Menge linear unabhängiger Vektoren aus einem
Vektorraum V mit endlichem Erzeugendensystem lässt sich
ergänzen zu einer Basis von V .
Beweis: Gegeben ist eine linear unabhängige Menge M von Vektoren
und ein Erzeugendensystem E. Ist span M ≠ V , so gibt es in E einen
Vektor, der nicht als Linearkombination von M dargestellt werden kann.
Diesen schlagen wir zusätzlich zu M, wodurch dim span M um eins
zunimmt, aber M linear unabhängig bleibt. Wiederholt man dieses Vorgehen,
so erreicht man schrittweise, dass dim span M = dim span E =
dim V wird. Dann ist M eine Basis.
Da gemäss Satz 4.7 jede Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes
V aus gleich vielen, nämlich n = dim V Vektoren besteht,
können wir aus Satz 4.9 sofort folgendes schliessen:
Korollar 4.10 In einem Vektorraum V endlicher Dimension ist
jede Menge von n = dim V linear unabhängigen Vektoren eine
Basis von V .
LA-Skript 4-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht