Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
zu den anderen Elementen derselben Zeile. Die Umsetzung dieser
Tatsache führt auf Regeln zur Wahl der Pivotelemente (Pivotstrategien).
Wir kommen auf Seite 3-8 in Abschnitt 3.1 darauf zurück.
4) Die Faktoren l kj ergeben sich als Quotienten aus den Koeffizienten
der vordersten Kolonne des j–ten Restgleichungssystems und
dem Pivot.
5) Die Lösung ist eindeutig bestimmt (wenn der Algorithmus nicht
abbricht), weil das Rückwärtseinsetzen zu einer eindeutigen Lösung
führt und das nach den n − 1 Eliminationsschritten erhaltene System
von Dreiecksgestalt äquivalent ist mit dem gegebenen System.
1.2 Gauss-Elimination: der allgemeine Fall
Im Gauss-Algorithmus 1.1 tritt eine Ausnahmesituation ein, wenn
die erste Kolonne des gegebenen Systems oder die erste Kolonne
eines Restgleichungsystems lauter Nullen enthält. Dann kann
man nicht nach der entsprechenden Variablen auflösen. Aber man
braucht diese Variable auch nicht mehr zu eliminieren; sie kommt ja
dann scheinbar gar nicht mehr vor. Genauer ausgedrückt, hat der
Wert einer solchen Variablen keinen Einfluss, das heisst man kann
diese Variable frei wählen. Man nennt sie deshalb freie Variable
[free variable] oder freier Parameter [free parameter].
Wir wollen diese Ausnahmesituation eines singulären quadratischen
linearen Systems (m = n) gerade im Rahmen des allgemeinen Falles
eines “rechteckigen” Systems, wo m ≠ n erlaubt ist, behandeln.
Zuerst betrachten wir aber ein kleines 3×3–Beispiel, in dem freie
Variablen auftreten.
Beispiel 1.3:
Bei der Reduktion des Systems
2x 1 − x 2 + 2x 3 = 2
4x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 6
8x 1 − 4x 2 + 6x 3 = 10
(1.13)
auf obere Dreiecksgestalt werden im ersten Eliminationsschritt nicht nur
in der ersten Kolonne, sondern auch in der zweiten zwei Nullen unterhalb
der Pivotzeile erzeugt. Wir zeigen dies hier wieder links mit den vollen
Eliminationsschemata und rechts in der kompakten Darstellung.
2
4
x 1 x 2 x 3 1
2 ♠ −1 2 2
4 −2 2 6
8 −4 6 10
2
4
x 1 x 2 x 3 1
2 ♠ −1 2 2
4 −2 2 6
8 −4 6 10
1
x 1 x 2 x 3 1
2 −1 ✓✏ 2 2
0 0 −2 2
✒✑
0 0 −2 2
1
x 2 ✓✏ x 3 1
0 −2 2
✒✑
0 −2 2
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-9