Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Lemma 6.17 Die in (6.63)–(6.65) gegebenen Formeln für
‖F ‖, ‖A‖, ‖A‖ 2 lassen sich ersetzen durch
‖F ‖ =
sup ‖F x‖ Y , (6.66)
‖x‖ X =1
‖A‖ = sup ‖Ax‖ , (6.67)
‖x‖=1
‖A‖ 2 = sup ‖Ax‖ 2 . (6.68)
‖x‖ 2 =1
In dieser Form lässt sich die Operatornorm leicht geometrisch interpretieren:
Die Restriktion ‖x‖ X = 1 bzw. ‖x‖ 2 = 1 bedeutet ja,
dass wir nur Vektoren auf der Oberfläche der “Einheitskugel” in
X oder E n betrachten. Die Norm entspricht dann der maximalen
Länge der Bildvektoren dieser Sphäre. Diese Interpretation passt
vor allem für die Spektralnorm. Man muss aber daran denken, dass
bei Verwendung einer anderen als der 2–Norm in E n die “Einheitskugel”
nicht eine Kugel ist.
Die Spektralnorm einer Matrix oder einer linearen Abbildung ist
leider im allgemeinen nicht einfach zu berechnen, aber oft benötigt
man effektiv nur eine obere Schranke, und eine solche kann man
häufig einfach erhalten. Auf die Berechnung der Spektralnorm werden
wir in den Abschnitten 10.6 und 11.2 zurückkommen. Wie die
folgende Betrachtung zeigt, ist die Berechnung einfach, wenn A eine
Diagonalmatrix ist.
Beispiel 6.12:
Für eine Diagonalmatrix D = diag (d 11 , . . . , d nn ) ist
‖Dx‖ 2 2
‖x‖ 2 2
=
∑ n
k=1 |d kk| 2 |x k | 2
∑ n
k=1 |x k| 2
ein gewichtetes Mittel der Betragsquadrate der Diagonalelemente d kk
und dieses Mittel wird offensichtlich maximal, wenn man alles Gewicht
auf ein betragsmässig grösstes Element legt. Ist dies d ll , so wählen wir
also x l = e l und erhalten
max
x≠o
‖Dx‖ 2 2
‖x‖ 2 2
= ‖De l‖ 2 2
‖e l ‖ 2 2
= |d ll| 2
1
= max
1≤k≤n |d kk| 2 .
Das heisst, es ist
‖D‖ 2 = max
x≠o
‖Dx‖ 2
‖x‖ 2
= max
1≤k≤n |d kk| . (6.69)
Ähnlich wie die Vektornormen, insbesondere die bereits in Kapitel
2 diskutierte 2–Norm von E n , hat auch die Operatornorm Eigenschaften,
die als Axiome eines allgemeineren Normbegriffes für
Abbildungen und Matrizen dienen können:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-21