Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
9.4 Die Jordansche Normalform
Es stellt sich immer noch die Frage, wie weit sich eine quadratische
Matrix im allgemeinen vereinfachen lässt. Ohne Beweis zitieren wir
den folgenden Satz, der auch die Analyse der Situation liefert, wo
die geometrische Vielfachheit gewisser Eigenwerte kleiner als die
arithmetische Vielfachheit ist.
Satz 9.17 Zu einer quadratischen Matrix A ∈ C n×n gibt es eine
ähnliche, blockdiagonale Matrix
⎛
⎞
J 1 O · · · O
O J 2 · · · O
J :≡ ⎜
⎝ . .
..
⎟
(9.33)
. . ⎠
O O · · · J µ
mit µ Diagonalblöcken J k der Ordnung m k der bidiagonalen Form
⎛
⎞
λ k 1 0 · · · 0
J k = ( 0 λ
)
k 1
.. . .
λ k oder J k =
. . .. . .. . .. 0
.
⎜
⎝ . ⎟
. .. λ k 1 ⎠
0 · · · · · · 0 λ k
(9.34)
Dabei sind die λ k nicht unbedingt verschieden.
Die Matrix J ist eindeutig bestimmt bis auf die Reihenfolge der
Diagonalblöcke J k .
Ist A eine reelle Matrix, die nur reelle Eigenwerte hat, so kann
man auch die Ähnlichkeitstransformation reell wählen.
Definition: Eine zu A ähnliche Matrix der Form (9.33)–(9.34)
heisst Jordansche Normalform [Jordan canonical form] von A.
Die Blöcke J k nennen wir Jordan-Blöcke [Jordan blocks]; jene
mit m k > 1 sind die nicht-trivialen Jordan-Blöcke.
Ein Beispiel einer nicht-diagonalen Jordanschen Nor-
Beispiel 9.11:
malform ist
J =
⎜
⎝
⎛
5 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 5 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 5 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 3 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎞
. (9.35)
⎟
⎠
Zur Hervorhebung der Blöcke haben wir die 10×10–Matrix als Blockmatrix
geschrieben.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-19