Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Man beachte, dass man dank der Priorität der Multiplikation vor
der Addition und dank der Assoziativität der Matrixaddition (siehe
Satz 2.1) keine Klammern setzen muss. Derartige Vereinfachungen
werden laufend benutzt, ohne dass wir darauf hinweisen.
Oft ist es von Vorteil, die Vektoren in einer Linearkombination
(2.22) als Kolonnen einer Matrix aufzufassen:
A :≡ ( a 1 a 2 · · · a n
)
. (2.23)
Um die Struktur hervorzuheben, kann man das auch so schreiben:
⎛
⎞
A :≡ ⎝ a 1 a 2 · · · a n
⎠ . (2.24)
Mit dieser Notation und der Regel (2.21) kommen wir rasch zu einer
Neuinterpretation des Matrix-Vektor-Produktes:
Satz 2.3 Sind a 1 , a 2 , . . . , a n gemäss (2.23) die Kolonnenvektoren
der m × n–Matrix A, und ist x ein n–Vektor, so gilt:
Ax = a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = x 1 a 1 + x 2 a 2 + · · · + x n a n .
(2.25)
Ist insbesondere e j der j–te Kolonnenvektor der Einheitsmatrix
I n , so gilt:
Ae j = a j . (2.26)
Beweis: Um (2.25) zu beweisen, betrachten wir die i-te Komponente.
Wir bezeichnen jene von a k mit (a k ) i , so dass also (a k ) i = a ik . Dann ist
(Ax) i =
n∑
a ik x k =
k=1
n∑
(a k ) i x k =
k=1
n∑
(a k x k ) i =
k=1
n∑
(x k a k ) i ,
wobei wir zuletzt noch (2.21) benutzt haben. Weiter ist Formel (2.26)
bloss ein Spezialfall von (2.25).
Auf ähnliche Weise kann man das Produkt zweier Matrizen neu
interpretieren:
Satz 2.4 Ist A eine m × n–Matrix und B = ( b 1 b 2 · · ·
)
b p
eine n × p–Matrix, so gilt:
k=1
AB = ( Ab 1 Ab 2 · · · Ab p
)
, (2.27)
oder, in anschaulicherer Schreibweise
⎛
⎞
AB = ⎝ Ab 1 Ab 2 · · · Ab p
⎠ . (2.28)
Beweis: Nach Satz 2.3 ist b j = Be j , j = 1, . . . , p. Die j-te Kolonne
der Produktmatrix AB lässt sich deshalb schreiben als (AB)e j . Dank
der Assoziativität der Matrizen-Multiplikation folgt damit aus Satz 2.3
für j = 1, . . . , p :
(AB)e j = A(Be j ) = Ab j .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-11