Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Kapitel 4
Vektorräume
In der Mathematik trifft man vielerorts folgende Struktur an: Die
Elemente einer bestimmten Menge lassen sich in natürlicher Weise
addieren und mit einer reellen (oder komplexen) Zahl multiplizieren
(“strecken”), wobei das Resultat beider Operationen je wieder ein
Element der Menge ist und gewisse einfache Regeln gelten. Diese
Struktur, genannt Vektorraum oder linearer Raum, kann als Verallgemeinerung
des n–dimensionalen Euklidischen Raumes, den wir
in Kapitel 2 behandelt haben, aufgefasst werden.
4.1 Definition und Beispiele
Definition: Ein Vektorraum [vector space] V über E ( :≡ R
oder C) ist eine nichtleere Menge auf der eine Addition [Addition]
x, y ∈ V ↦−→ x + y ∈ V
und eine skalare Multiplikation [scalar multiplication]
α ∈ E, x ∈ V ↦−→ αx ∈ V
definiert sind, wobei folgende Grundregeln gelten:
(V1) x + y = y + x (∀x, y ∈ V ),
(V2) (x + y) + z = x + (y + z) (∀x, y, z ∈ V ),
(V3) es gibt ein ausgezeichnetes Element o ∈ V mit
x + o = x (∀x ∈ V ),
(V4) zu jedem x ∈ V gibt es ein eindeutig bestimmtes −x ∈ V mit
x + (−x) = o ,
(V5) α(x + y) = αx + αy (∀α ∈ E, ∀x, y ∈ V ),
(V6) (α + β)x = αx + βx (∀α, β ∈ E, ∀x ∈ V ),
(V7) (α β)x = α(βx) (∀α, β ∈ E, ∀x ∈ V ),
(V8) 1x = x (∀x ∈ V ).
Die Elemente von V heissen Vektoren [vector]. Das Element o ∈ V
ist der Nullvektor [zero vector]. Die Elemente von E bezeichnet
man als Skalare [scalars]. Statt Vektorraum sagt man auch linearer
Raum [linear space]. Ist E = R, heisst der Vektorraum reell,
falls E = C komplex.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-1