Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 8 — Determinanten Lineare Algebra (2007)
ändern:
∣
r 11 ⋆ · · · ⋆
r 22 · · · ⋆
. .. .
r nn
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣
r 11
r 22
. ..
r nn
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣
.
(Zum Beispiel kann man hier durch Addition Vielfacher der letzten Zeile
zu den anderen Zeilen deren letztes Element zu 0 machen.) Damit folgt
Eigenschaft (ix) aus (viii). Sind nicht alle Diagonalelemente ungleich 0,
so gibt es ein unterstes das 0 ist, sagen wir r kk . Dann kann man durch
Addition Vielfacher der Zeilen k + 1 bis n erreichen, dass die k–te Zeile
nur Nullen enthält. Also ist det R = 0 nach (vii) und (iv). Analoges gilt
für eine untere Dreiecksmatrix.
Weil die in Eigenschaft (vii) genannten Zeilenoperationen die Determinante
nicht verändern, bleibt die Determinante im Verlaufe des
Gauss-Algorithmus invariant, ausser dass jede Zeilenvertauschung
zu einem Faktor −1 führt. Das stimmt auch dann, wenn eine Matrix
R in allgemeiner Zeilenstufenform resultiert, d.h. Rang A < n gilt.
Nach Eigenschaft (ix) ist in diesem Falle aber det A = 0, während
im regulären Falle das Produkt der Diagonalelemente von R gerade
das Produkt der Pivotelemente ist. Es gilt damit folgender Satz:
Satz 8.5 Für jede n × n–Matrix A gilt:
det A ≠ 0 ⇐⇒ Rang A = n ⇐⇒ A ist regulär .
Wendet man auf A den Gauss-Algorithmus an und ist dabei
Rang A = n, so ist det A gleich dem Produkt der Pivotelemente
multipliziert mit (−1) ν , wobei ν die Anzahl der ausgeführten
Zeilenvertauschungen bezeichnet:
det A = (−1) ν
n
∏
k=1
r kk . (8.10)
Der Faktor (−1) ν in (8.10) ist gerade das Signum der Permutation,
die den Zeilenvertauschungen entspricht.
Algorithmus 8.1 (Determinante via Gauss–Algorithmus)
Zur Berechnung der Determinante einer n × n–Matrix A wende
man den Gauss–Algorithmus auf A an. Falls er den Rang n und
die obere Dreieicksmatrix R liefert, so gilt (8.10). Ist Rang A < n,
so ist det A = 0.
Der Gauss-Algorithmus 8.1 ist für n ≥ 4 im allgemeinen die weitaus
schnellste Methode zur Berechnung der Determinante. Im wesentlichen
ist der Rechenaufwand ja bloss je 1 3 n3 Additionen und Multiplikationen
(vgl. Satz 3.2), was im Vergleich zu den rund n! Additionen
und (n − 1)n! Multiplikationen von Definition (8.6) enorm
wenig ist. Der Trick bestand in der Anwendung von Eigenschaft
(vii) zur Reduktion auf obere Dreiecksform.
LA-Skript 8-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht