Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Von besonderer Bedeutung ist das Produkt einer Matrix mit einem
Kolonnenvektor:
Definition des Matrix-Vektor-Produktes: Das Matrix-Vektor-
Produkt [matrix vector product] (oder kurz: Produkt) einer m ×
n–Matrix A mit einem n–Vektor x ist definiert als Spezialfall des
Produktes zweier Matrizen: b :≡ Ax ist gegeben durch
n∑
b i :≡ a ik x k
k=1
= a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n
(2.20)
(i = 1, . . . , m) .
Als Figur:
n
i–te Zeile →
m
× × × × × ×
A
×
n
×
×
×
×
×
×
x
=
m
×
← (Ax) ij
Ax
Ein spezielles, aber wichtiges Matrixprodukt ist das Produkt eines
Kolonnenvektors x mit einer 1 × 1–Matrix (α), die man als Zahl
(Skalar) auffassen kann: es gilt
⎛
⎛ ⎞ ⎛
⎛
⎜
⎝
⎞
x 1
⎟
. ⎠ (α) =
x n
⎜
⎝
x 1 α
.
x n α
⎟
⎠ =
⎜
⎝
⎞
αx 1
⎟ ⎜
. ⎠ = α ⎝
αx n
⎞
x 1
⎟
. ⎠ .
x n
Man beachte, dass hier links ein spezielles Matrixprodukt, rechts
aber ein äquivalentes Produkt eines Skalars mit einer Matrix steht.
Wir definieren deshalb
x α :≡ x (α) = α x . (2.21)
Wir werden sehen, dass es oft Sinn macht, einen Skalar auf der
rechten Seite eines Kolonnenvektors zu schreiben statt wie üblich
auf der linken.
Die Summe solcher Produkte des Typs Skalar mal Vektor, das heisst
die Summe von Vielfachen von Vektoren, führt zu einem weiteren
grundlegenden Begriff der linearen Algebra:
Definition: Eine Linearkombination [linear combination] der
Vektoren a 1 , a 2 , . . . , a n ist ein Ausdruck der Form
α 1 a 1 + α 2 a 2 + · · · + α n a n , (2.22)
worin α 1 , α 2 , . . . , α n Zahlen (Skalare) sind.
LA-Skript 2-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht