Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Berechnung entspricht auch der Reihenfolge der führenden Hauptuntermatrizen.
Algorithmus 3.4 (Zeilenweise, direkte Cholesky-Zerlegung)
Zur Cholesky-Zerlegung einer positiv definiten reell symmetrischen
oder Hermiteschen n × n Matrix A berechne man für
i = 1, . . . , n:
∑i−1
˜r ii := √ aii − |˜r ji | 2 ,
(3.69a)
j=1
(
)
∑i−1
1
˜r ik := a ik − ˜r ji ˜r jk (k = i + 1, . . . , n) . (3.69b)
˜r ii
j=1
Dabei sind die Summen leer, wenn i = 1 ist. Im letzten Schritt
mit i = n entfällt die zweite Formel (3.69b).
Anwendung auf Gleichungssysteme; Rechenaufwand
Natürlich kann man die Cholesky-Zerlegung genau wie die LR–
Zerlegung zum Lösen eines Gleichungssystems einsetzen.
Algorithmus 3.5 (Gauss-Elimination durch Cholesky-
Zerlegung, Vor- und Rückwärtseinsetzen)
Zum Lösen eines Gleichungssystems Ax = b mit symmetrisch
oder Hermitesche positiv definiter Matrix A kann man wie folgt
vorgehen:
1. Cholesky-Zerlegung A = ˜R H ˜R von A, z.B. mittels Algorithmus
3.4.
2. Vorwärtseinsetzen: ˜R H c = b auflösen nach c.
3. Rückwärtseinsetzen: ˜Rx = c auflösen nach x.
Weil in der Cholesky-Zerlegung und in der symmetrischen LDR–
Zerlegung (3.62) nur eine Dreiecksmatrix zu bestimmen ist, reduziert
sich der Rechenaufwand im Vergleich zur LR–Zerlegung und
zur Gauss-Elimination um fast die Hälfte. Im Detail gilt analog zu
Satz 3.2 folgende Aussage:
Satz 3.9 Der Rechenaufwand für die Cholesky-Zerlegung einer
voll besetzten, symmetrisch oder Hermitesch positiv definiten n×n-
Matrix beträgt n Divisionen (inklusive der letzten, die man erst im
Rückwärtseinsetzen braucht), 1 6 n3 + 1 2 n2 + O(n) Multiplikationen
und 1 6 n3 + O(n) Additionen. Für Vor- und Rückwärtseinsetzen
braucht man zusätzlich pro rechte Seite je n 2 − n Additionen und
n 2 + n Multiplikationen.
LA-Skript 3-18 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht