Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Grundlegende Folgerungen aus den Axiomen des Skalarproduktes
lassen sich genau gleich herleiten, wie wir das in Kapitel 2 für
das spezielle Euklidische Skalarprodukt von R n und C n taten. Als
Beispiele geben wir die allgemeine Form der Schwarzschen Ungleichung,
die Definitionen des Winkels und der Orthogonalität, sowie
die allgemeine Form des Satzes von Pythagoras an:
Satz 6.1 Für alle Paare x, y ∈ V gilt die Schwarzsche Ungleichung
(oder Cauchy-Bunjakovski-Schwarz-Ungleichung)
| 〈x, y〉 | ≤ ‖x‖ ‖y‖ . (6.12)
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x und y linear
abhängig sind.
Beweis: Der Beweis verläuft völlig analog zu jenem von Satz 2.11.
Definition: Der Winkel [angle] ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) zwischen zwei
Vektoren x und y ist gegeben durch
ϕ :≡ arccos
ϕ :≡ arccos
〈x, y〉
,
‖x‖ ‖y‖
falls E = R , (6.13)
Re 〈x, y〉
,
‖x‖ ‖y‖
falls E = C . (6.14)
Zwei Vektoren x, y ∈ V sind zueinander orthogonal [orthogonal]
(oder: senkrecht [perpendicular]), falls 〈x, y〉 = 0. Symbolisch:
x ⊥ y.
Zwei Teilmengen M, N ⊆ V sind zueinander orthogonal [orthogonal],
falls 〈x, y〉 = 0 für alle x ∈ M und alle y ∈ N. Symbolisch:
M ⊥ N.
Bemerkung: M und N können insbesondere Unterräume sein.
Der Nullvektor ist orthogonal zu allen Vektoren; der Nullraum ist
orthogonal zu allen Unterräumen.
Für senkrechte Vektoren kann man nun allgemein den Satz von
Pythagoras beweisen, genau wie Satz 2.13:
Satz 6.2 (Satz von Pythagoras) In einem Vektorraum mit
Skalarprodukt gilt:
x ⊥ y =⇒ ‖x ± y‖ 2 = ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 . (6.15)
Beispiel 6.4: Wir betrachten im Raum C[0, 1], versehen mit dem
Skalarprodukt (6.8) die zwei Funktionen f(t) : t ↦→ t 2 und g(t) : t ↦→ t 3 .
Hier gilt: 〈f, g〉 = 1/6 , ‖f‖ 2 = 1/5 , ‖g‖ 2 = 1/7 . Der Winkel zwischen
diesen Funktionen (Vektoren) beträgt damit
√ √ √
〈f, g〉
5 7
35
ϕ = arccos
‖f‖ ‖g‖ = arccos = arccos
6
36 .
LA-Skript 6-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht