Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Satz 6.6 Die im Gram–Schmidt–Orthogonaliserungsverfahren
konstruierten Vektoren b 1 , b 2 , . . . sind normiert und paarweise
orthogonal, und es gilt nach k Schritten
span {a 1 , a 2 , . . . , a k } = span {b 1 , b 2 , . . . , b k } .
Ist {a 1 , a 2 , . . . } eine Basis von V , so ist {b 1 , b 2 , . . . } eine Orthonormalbasis
von V .
Statt Gram–Schmidt–Orthogonalisierungsverfahren werden auch die
Bezeichnungen Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
(vor allem in der deutschsprachigen Mathematik-Literatur) und
klassisches Gram–Schmidt–Verfahren [classical Gram-Schmidt
algorithm] (vor allem im wissenschaftlichen Rechnen) verwendet.
Eine in Bezug auf die Rundungsfehler etwas genauere Version heisst
modifiziertes Gram–Schmidt–Verfahren [modified Gram–
Schmidt algorithm].
Das Verfahren wird vor allem, aber nicht nur, im Falle V = E n
verwendet. In diesem Fall gibt es allerdings diverse Alternativen.
Wir werden sehen, dass man das Gram–Schmidt–Verfahren nicht
nur für die Konstruktion einer Orthonormalbasis brauchen kann.
Beweis von Satz 6.6: Es ist klar, dass ‖b k ‖ = 1 (∀k). Wir müssen
zeigen, dass 〈b l , b k 〉 = 0 falls k ≠ l. Wir dürfen die Induktionsvoraussetzung
machen, dass b 1 , . . . , b k−1 paarweise orthogonal sind. (Falls k = 1
ist die Induktionsvoraussetzung leer; es ist deshalb keine eigentliche Verankerung
nötig.) Dann folgt für l = 1, . . . , k − 1:
〈 ]
〉
∑k−1
{ }} {
〈b l , b k 〉 = ‖˜b k ‖ −1 b l ,˜b k = ‖˜b k ‖
[〈b −1 l , a k 〉 − 〈b j , a k 〉 〈b l , b j 〉
= ‖˜b k ‖ −1[ 〈b l , a k 〉 − 〈b l , a k 〉 ] = 0 .
j=1
δ lj
} {{ }
= 〈b l , a k 〉
Also sind sogar b 1 , . . . , b k paarweise orthogonal, und mit Induktion schliessen
wir auf die paarweise Orthogonalität aller b j . Durch Induktion folgt
sofort auch, dass b k ∈ span {a 1 , . . . , a k } , also
span {b 1 , . . . , b k } ⊆ span {a 1 , . . . , a k } (∀k) .
Nach Satz 6.3 sind b 1 , . . . , b k linear unabhängig, bilden also eine Basis
von span {b 1 , . . . , b k }. Aus Dimensionsgründen folgt daraus direkt, dass
span {b 1 , . . . , b k } = span {a 1 , . . . , a k }, vgl. Satz 4.7.
Aufgrund der letzten Aussage in Satz 6.6 gilt insbesondere:
Korollar 6.7 Zu einem Vektorraum mit Skalarprodukt von endlicher
oder abzählbar unendlicher Dimension gibt es eine orthonormierte
Basis.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-9