Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
so folgt aus ξ = o also ξ ′ = o, d.h. das homogene System hat nur die
triviale Lösung. Also ist T regulär, und es gilt (4.42).
Beispiel 4.30: Der in Beispiel 4.21 betrachtete Raum G 4 der geraden
Polynome vom Grad ≤ 4 hat laut der dort bewiesenen Beziehung (4.22)
die zwei Basen {1, t 2 , t 4 } und {p 1 , p 2 , p 3 }, wobei nach (4.17) gilt
p 1 (t) :≡ 1 + t 2 , p 2 (t) :≡ 1 − t 2 , p 3 (t) :≡ 1 + t 2 + t 4 . (4.43)
Wir können ein beliebiges Polynom g ∈ G 4 je auf eindeutige Weise in
den beiden Basen darstellen:
g(t) = a + b t 2 + c t 4 = a ′ p 1 (t) + b ′ p 2 (t) + c ′ p 3 (t) . (4.44)
Die entsprechenden Koordinatenvektoren sind also
ξ = ( a b c ) T , ξ ′ = ( a ′ b ′ c ′ ) T .
Die neue Basis {p 1 , p 2 , p 3 } ist in (4.43) gerade durch die alte Basis
{1, t 2 , t 4 } dargestellt; die Transformationsmatrix ist
⎛
⎞
T = ( )
1 1 1
τ ik = ⎝ 1 −1 1 ⎠ . (4.45)
0 0 1
Diese Matrix ist schon in (4.18) und (4.23) als Koeffizientenmatrix aufgetreten.
Um nun zum Beispiel das in der alten Basis ausgedrückte Polynom
g(t) = 4 + 6 t 2 + 8 t 4 (4.46)
in der neuen Basis darzustellen, müssen wir (4.42) anwenden mit ξ =
⎛
(
4 6
) T: 8
ξ ′ = ⎝
1 1 1
1 −1 1
0 0 1
⎞
⎠
−1 ⎛
Wir haben in (4.18) bereits die LR-Zerlegung von T angegeben. Was zu
tun bleibt, ist vor- und rückwärts einzusetzen:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 0 ω 1 4
ω 1 4
⎝ 1 1 0 ⎠ ⎝ ω 2
⎠ = ⎝ 6 ⎠ =⇒ ω = ⎝ ω 2
⎠ = ⎝ 2 ⎠ ,
0 0 1 ω 3 8
ω 3 8
⎛
⎝
1 1 1
0 −2 0
0 0 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
ξ ′ 1
ξ ′ 2
ξ ′ 3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
4
2
8
⎞
⎝
4
6
8
⎞
⎠ .
⎛
⎠ =⇒ ξ ′ = ⎝
ξ ′ 1
ξ ′ 2
ξ ′ 3
⎞
⎛
⎠ = ⎝
−3
−1
8
Betrachten wir Basiswechsel und Koordinatentransformation nun
noch im Spezialfall V = E n . Dann lassen sich die alte und die neue
Basis ja als Kolonnen von n × n–Matrizen B und B ′ darstellen:
⎞
⎠ .
B = ( b 1 · · · b n
)
, B ′ = ( b ′ 1 · · · b ′ n
)
. (4.47)
Damit kann der Basiswechsel (4.38) einfach geschrieben werden als
B ′ = B T . (4.48)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-19