Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Korollar 9.3 λ ist genau dann ein Eigenwert von A ∈ E n×n ,
wenn A − λI singulär ist.
Der Eigenraum E λ zu einem Eigenwert λ von A ist ein vom Nullraum
verschiedener Unterraum des E n , und zwar ist
E λ = ker (A − λI) , (9.6)
das heisst E λ besteht aus allen Lösungen v des homogenen Gleichungssystems
(A − λI)v = o . (9.7)
Die geometrische Vielfachheit von λ beträgt
dim E λ = dim ker (A − λI) = n − Rang (A − λI) . (9.8)
Beweis: Das zweite Gleichheitszeichen in (9.8) folgt aus der Dimensionsformel
(5.29); siehe auch Satz 5.12. Alles andere ergibt sich aus
Lemma 9.2 und bereits bekannten Äquivalenzen.
Wir können also die Eigenvektoren zu einem bekannten Eigenwert
durch Lösen eines singulären homogenen Gleichungssystems
berechnen. Dabei wollen wir in der Regel eine Basis von E λ konstruieren,
das heisst dim E λ linear unabhängige Lösungsvektoren v
berechnen. Wir können diese zudem bei Bedarf “normieren”, das
heisst so wählen, dass ‖v‖ = 1 ist (in der Euklidischen Norm).
Aber wie finden wir die Eigenwerte? Und wieviele gibt es?
Wir müssen λ so wählen, dass A − λI singulär ist. Nach Satz 8.5
ist A − λI genau dann singulär, wenn det (A − λI) = 0.
Beispiel 9.4:
Für
⎛
A = ⎝
−7 2 −6
12 −2 12
12 −3 11
⎞
⎠ (9.9)
erhalten wir mit der Formel (8.7) von Sarrus
−7 − λ 2 −6
det (A − λI) =
12 −2 − λ 12
∣ 12 −3 11 − λ ∣
Es ist also
= (−7 − λ)(−2 − λ)(11 − λ) + 72(−2 − λ)
+ 36(−7 − λ) − 24(11 − λ) + 288 + 216
= (−λ) 3 + (−7 − 2 + 11)λ 2
− (−22 − 77 + 14 + 72 + 36 − 24)λ
+ 154 − 144 − 252 − 264 + 288 + 216
= −λ 3 + 2λ 2 + λ − 2 .
det (A − λI) = −λ 3 + 2λ 2 + λ − 2 ≡: χ A (λ)
ein kubisches Polynom χ A in λ, und das gilt offensichtlich analog für
jede 3×3–Matrix. Ein solches Polynom hat im Komplexen genau drei
LA-Skript 9-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht