Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Beweis:
Jedes x ∈ V lässt sich nach Satz 4.12 in der Form
x =
n∑
ξ k b k
k=1
darstellen, mit eindeutig bestimmten Koordinaten ξ k . Bei orthonormierter
Basis gilt wegen der Linearität des Skalarproduktes im zweiten Argument
〈 n∑ 〉 n∑
〈b j , x〉 = b j , ξ k b k = ξ k 〈b j , b k 〉 = ξ j .
k=1
k=1
Beispiel 6.5: Ein reelles trigonometrisches Polynom vom Grad
≤ m ist eine auf ganz R definierte 2π–periodische Funktion der Form
f(t) = 1 2 α 0 + α 1 cos(t) + β 1 sin(t) + · · · + α m cos(mt) + β m sin(mt)
oder
f(t) =
m
∑ ′
k=0
(
αk cos(kt) + β k sin(kt) ) , (6.17)
wobei der Strich nach dem Summenzeichen bedeutet, dass der Summand
α 0 cos(0t) das Gewicht 1 2 bekommt und der Summand β 0 sin(0t) nicht
auftritt. Wir bezeichnen die Menge dieser Polynome mit T m . Mit der
üblichen, auf C(R) definierten Addition und skalaren Multiplikation ist
T m offensichtlich ein Unterraum des Vektorraumes C(R), also selbst ein
Vektorraum. Man verifiziert leicht, dass durch
〈f, g〉 :≡
∫ 2π
0
f(t) g(t) dt (6.18)
auf T m ein Skalarprodukt definiert ist. Wir behaupten, dass die 2m + 1
Funktionen
1
√
2π
,
1
√ π
cos(t),
1
√ π
sin(t), . . . ,
1
√ π
cos(mt),
1
√ π
sin(mt) (6.19)
eine orthonormale Basis von T m bilden. In der Tat kann man mit Hilfe
der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus die Integrale
∫ 2π
0
cos(kt) cos(lt) dt ,
∫ 2π
0
sin(kt) sin(lt) dt ,
als Summe bzw. Differenz der zwei Integrale
∫
1 2π
cos((k ± l)t) = δ kl π
2 0
ausdrücken, während für alle k und l gilt
∫ 2π
0
cos(kt) sin(lt) dt = 1 2
∫ 2π
0
sin((l−k)t)dt+ 1 2
∫ 2π
0
sin((l+k)t)dt = 0 .
LA-Skript 6-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht