Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Lemma 9.1 Es sei F : V → V eine lineare Abbildung, κ V :
V → E n , x ↦→ ξ eine Koordinatenabbildung von V (bezüglich einer
gewählten Basis) und A = κ V F κ −1
V
die entsprechende Abbildungsmatrix
von F . Dann gilt:
} {
λ EW von F λ EW von A
⇐⇒
x EV von F
ξ EV von A
Beweis: Aus F x = λx folgt κ V (F x) = κ V (λx) = λκ V x = λξ. Aufgrund
der Definitionen von κ V und A, vgl. (5.26), ist aber Aξ = κ V (F x),
also Aξ = λξ. Analog schliesst man unter Verwendung von κ −1
V
, dass
die Umkehrung gilt.
Wir können uns also bei der Diskussion von Eigenwertproblemen
weitgehend auf Matrizen beschränken.
Der zu einem Eigenwert λ gehörende Eigenvektor v ist natürlich
nie eindeutig bestimmt: offensichtlich ist mit v auch jedes (von 0
verschiedene) skalare Vielfache von v ein Eigenvektor, denn
F v = λv =⇒ F (αv) = λ(αv) .
Das bedeutet, dass jeder Eigenraum E λ immer mindestens einen
eindimensionalen Unterraum enthält.
Kann es wohl mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu einem
Eigenwert geben?
Der Eigenraum E λ ist die Menge der Vektoren v, für die
(F − λI)v = o (9.4)
gilt, wo I die Identität auf V bedeutet und F −λI definiert ist durch
(F −λI)x :≡ F x−λx (∀x ∈ V ). Mit F ist auch F −λI eine lineare
Abbildung von V in sich, und die Eigenvektoren v (zusammen mit
o) bilden gerade den Kern von F − λI. Dieser Kern besteht eben
genau dann nicht nur aus dem Nullvektor, wenn λ ein Eigenwert
ist. Unter Berücksichtigung von Lemma 5.4 gilt somit:
Lemma 9.2 λ ist genau dann ein Eigenwert von F : V → V ,
wenn der Kern von F − λI nicht nur aus dem Nullvektor besteht.
Der Eigenraum E λ zu einem Eigenwert λ von F ist ein vom Nullraum
verschiedener Unterraum von V , und zwar ist
E λ = ker (F − λI) . (9.5)
Definition: Die geometrische Vielfachheit [geometric multiplicity]
eines Eigenwertes λ ist gleich der Dimension von E λ .
Beispiel 9.1: Die Identität I in V hat den Eigenwert 1 und den
zugehörigen Eigenraum E 1 = V , denn für jeden Vektor gilt ja Ix = x =
1 x. Also hat der Eigenwert 1 die geometrische Vielfachheit n :≡ dim V .
Für die Nullmatrix O ∈ E n×n ist analog E 0 = E n , dim E 0 = n.
LA-Skript 9-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht