Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 1
Lineare Gleichungssysteme —
Gauss-Elimination
Die Gauss-Elimination 1 [Gauss elimination], oft einfach Gauss-
Algorithmus [Gauss algorithm] genannt, ist die grundlegendste
und weitverbreitetste Methode um lineare Gleichungssysteme zu
lösen. Es ist im Prinzip jene Methode, die man schon in der Grundschule
lernt. Wir betrachten sie hier in systematischerer Weise.
Zunächst einige Fakten:
• Die Gauss-Elimination ist von grundlegender Bedeutung für
das wissenschaftliche Rechnen [scientific computing] und
allgemeiner, für die rechnergestützten Wissenschaften
[computational science and engineering]. Fast bei jeder Computersimulation
sind irgendwo lineare Gleichungssysteme zu
lösen, und oft sind diese sehr gross.
• Im wissenschaftlichen Rechnen wird die Methode aber fast
nur im Falle m = n eingesetzt.
• Es kommen dabei allerdings z.T. komplizierte Varianten zum
Einsatz, die in bezug auf Stabilität, Rechengeschwindigkeit
(auch Speicherzugriff), Speicherplatz und Parallelisierbarkeit
optimiert sind.
• Wir wollen den allgemeinen Fall von m linearen Gleichungen
in n Unbekannten analysieren und die entsprechende Lösungsmenge
beschreiben.
• Die daraus ableitbare Theorie ist fundamental für die lineare
Algebra. Wir werden uns später immer wieder auf sie beziehen.
1.1 Gauss-Elimination: der reguläre Fall
Wir führen in diesem Abschnitt zunächst die Notation für allgemeine
Systeme von m linearen Gleichungen in n Unbekannten ein
und diskutieren dann die Gauss-Elimination im Normalfall m = n,
beginnend mit Beispielen mit m = n = 3. Im nächsten Abschnitt
werden wir dann den allgemeinen Fall behandeln.
Ein Gleichungssystem [system of equations] von m linearen Gleichungen
in n Unbekannten hat die Form
1 Carl Friedrich Gauss (30.4.1777 – 23.2.1855), ab 1807 Professor für
Astronomie in Göttingen; einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-1