Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Eine weitere, oft auftretende Symmetrieeigenschaft ist die folgende:
Definition: Eine quadratische Matrix A ist schiefsymmetrisch
[skew-symmetric], falls A T = −A.
Beispiel 2.16:
Die Matrix
⎛
0 −3 5
⎝ 3 0 −4
−5 4 0
⎞
⎠
ist schiefsymmetrisch und hat wie jede andere solche Matrix lauter Nullen
in der Diagonale.
Für das Transponieren gelten folgende einfache Rechenregeln:
Satz 2.6 (i) Für jede Matrix A gilt
(A T ) T = A , (A H ) H = A , (2.32)
(ii) Für jede Matrix A und jeden Skalar α gilt
(α A) T = α A T , (α A) H = α A H . (2.33)
(iii) Für beliebige m × n–Matrizen A und B gilt
(A + B) T = A T + B T , (A + B) H = A H + B H . (2.34)
(iv) Für jede m × n–Matrix A und jede n × p–Matrix B gilt
Beweis:
(AB) T = B T A T , (AB) H = B H A H . (2.35)
Die Aussagen (2.32)–(2.34) sollten klar sein.
Um (2.35) zu beweisen bemerken wir, dass AB eine m × p–Matrix und
somit (AB) T eine p × m–Matrix ist. Das Produkt B T A T ist ebenfalls
eine p × m–Matrix. Für die entsprechenden Elemente gilt
((AB) T ) ij = (AB) ji =
=
n∑
a jk b ki =
k=1
n∑
b ki a jk
k=1
n∑
(B T ) ik (A T ) kj = (B T A T ) ij .
k=1
Der Beweis von (AB) H = B H A H verläuft völlig analog.
Im allgemeinen ist das Produkt zweier symmetrischer Matrizen
nicht symmetrisch. Zum Beispiel ist
( 0 1
1 0
) ( 0 1
1 2
)
=
Aber man hat die folgenden Aussagen:
( 1 2
0 1
LA-Skript 2-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht
)
.