Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel 9
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren spielen sowohl in der Theorie als
auch in den Anwendungen eine grosse Rolle. Sie erlauben einfache
Abbildungsmatrizen von Selbstabbildungen zu finden und zum
Beispiel Normalformen für quadratische Funktionen zu finden. Man
kann mit ihnen aber auch lineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten lösen oder, konkret, die Eigenschwingungen
eines elastischen Körpers bestimmen, im einfachsten Falle einer
schwingenden Saite.
9.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von
Matrizen und linearen Abbildungen
Wir betrachten lineare Abbildungen F : V → V , x ↦−→ F x eines
endlich-dimensionalen Vektorraumes V in sich und interessieren uns
für Vektoren, die bei einer solchen Abbildung bloss gestreckt werden
(allenfalls mit einem negativen Faktor).
Definition: Die Zahl λ ∈ E heisst Eigenwert [eigenvalue] der
linearen Abbildung F : V → V , falls es einen Eigenvektor [eigenvector]
v ∈ V , v ≠ o gibt, so dass
F v = λv . (9.1)
Ist λ ein Eigenwert, so ist der zugehörige Eigenraum [Eigenspace]
E λ gleich der um den Nullvektor erweiterten Menge der Eigenvektoren
zu λ:
E λ :≡ {v ∈ V ; F v = λv} . (9.2)
Die Menge aller Eigenwerte von F heisst Spektrum [spectrum]
von F und wird mit σ(F ) bezeichnet.
Als Abkürzungen für die Begriffe “Eigenvektor” und “Eigenwert”
schreibt man oft EV [EVec] und EW [EVal].
Diese Definitionen gelten insbesondere für quadratische Matrizen:
ξ ∈ E n ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ von A ∈ E n×n falls
Aξ = ξλ , (9.3)
wobei wir hier wieder besser den Skalar rechts schreiben, vgl. (2.21).
Ist A eine Abbildungsmatrix, die eine lineare Abbildung F bezüglich
einer gewissen Basis repräsentiert, so haben F und A die gleichen
Eigenwerte, und die Eigenvektoren entsprechen sich auf natürliche
Weise:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-1