Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Bemerkungen:
1) In der Zerlegung
A = VJV −1 (9.36)
mit V ≡: ( v 1 v 2 . . . v n
)
sind jene Vektoren vl , deren Index
l mit dem der ersten Kolonne eines Blockes J k übereinstimmt, die
Eigenvektoren, denn für sie gilt Av l = v l λ k .
Für die anderen Vektoren v l im k-ten Block gilt stattdessen
Av l = v l λ k + v l−1 , d.h. (A − λ k I)v l = v l−1 . (9.37)
Diese Vektoren nennt man Hauptvektoren [principal vectors] zum
Eigenwert λ k .
Satz 9.17 besagt also auch, dass es zu jeder n × n–Matrix A eine
Basis von C n aus Eigen- und Hauptvektoren von A gibt.
2) Die Zahl µ der Blöcke ist gleich der Anzahl linear unabhängiger
Eigenvektoren. A ist diagonalisierbar genau dann, wenn µ = n.
Für einen bestimmten Eigenwert λ ist die algebraische Vielfachheit
gleich
∑
m k (9.38)
λ k =λ
und die geometrische Vielfachheit gleich ∑ λ k =λ
1, das heisst gleich
der Anzahl Blöcke mit λ k = λ.
3) Die Jordansche Normalform ist in der Matrizentheorie ein wichtiges
Hilfsmittel. Sie ist aber für praktische numerische Berechnungen
unbrauchbar, weil sie nicht stetig von der Matrix (d.h. den Elementen
der Matrix) abhängt. Durch eine beliebig kleine Änderung einer
Matrix mit Jordan-Blöcken kann man erreichen, dass alle Eigenwerte
der Matrix verschieden werden, was bedeutet dass alle diese
Jordan-Blöcke verschwinden. Natürlich ändern dabei auch die Matrizen
V aus (9.36) unstetig.
Beispiel 9.12: Die Matrix J aus (9.35) hat die vier verschiedenen
Eigenwerte 5, 3, 1 und 0, von denen alle ausser 0 mehrfach sind. Die
algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind in
der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:
EW λ alg. Vfh. geom. Vfh. Blockgrössen m k
5 5 3 3, 1, 1
3 2 1 2
1 1 1 1
0 2 1 2
Satz 9.17 liefert auch sofort die folgende Verallgemeinerung von
Korollar 9.10.
LA-Skript 9-20 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht