Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra (2007)
Box 1.2 Reduktion eines m × n Systems auf Zeilenstufenform
mittels Gauss-Elimination.
Algorithmus 1.2 (Gauss-Algorithmus, allgemeiner Fall)
Zum Lösen des m × n-Gleichungssystems Ax = b setze j := 1,
n 1 := 1, A (0) := A, b (0) := b, und betrachte das gegebene System
als 0-tes Restgleichungssystem.
jter Eliminationsschritt:
(a) Sind alle Koeffizienten in den l vordersten Kolonnen des (j−
1)sten Restgleichungssystems null, so sind x nj , . . . x nj +l−1
freie Variablen; streiche diese l Kolonnen und setze n j :=
n j + l; falls dann n j > n, setze r := j − 1 und gehe zum
Verträglichkeitstest.
Wähle in der vordersten Kolonne des verbleibenden Restgleichungssystems
das j-te Pivotelement a (j−1)
p,n j
≠ 0 aus. Für den
Zeilenindex p der Pivotzeile gilt dabei p ∈ {j, . . . , m}. Falls
p ≠ j, vertausche die Zeile p mit der Zeile j und nummeriere
die Koeffizienten und rechten Seiten entsprechend um;
das Pivotelement heisst dann a (j−1)
j,n j
.
(b) Falls j = m, setze r = m und gehe zum Rückwärtseinsetzen.
Andernfalls berechne für k = j + 1, . . . , m die Faktoren
l kj := a (j−1)
k,n j
/a (j−1)
j,n j
(1.25)
und subtrahiere das l kj -fache der Pivotzeile (mit Index j)
von der Zeile mit Index k:
a (j)
ki
b (j)
k
:= a (j−1)
ki
:= b (j−1)
k
− l kj a (j−1)
ji , i = n j + 1, . . . , n , (1.26a)
− l kj b (j−1)
j . (1.26b)
Falls n j = n, so dass (1.26a) leer ist, setze r = j und gehe
zum Verträglichkeitstest. Andernfalls setze n j+1 := n j + 1
und j := j+1 und beginne den nächsten Eliminationsschritt.
Verträglichkeitstest: Falls m > r und b (r)
k
hat das System keine Lösung; Abbruch.
≠ 0 für ein k > r, so
Rückwärtseinsetzen: Bestimme eine Lösung des resultierenden
Systems in Zeilenstufenform: berechne dazu für k = r, r − 1, . . . , 1
(
)
n∑
x nk := b (k−1)
k
− a (k−1) 1
ki
x i , (1.27)
i=n k +1 a (k−1)
k,n k
wobei die freien Variablen (d.h. jene x i mit i ∉ {n 1 , . . . , n r }) frei
wählbar sind.
LA-Skript 1-16 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht