Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
Zwei Spezialfälle obiger Block–LR–Zerlegung sind besonders interessant:
wenn entweder der (1, 1)–Block oder der (2, 2)–Block ein
Skalar ist. Im ersten Fall hat man aus (3.48) oder (3.49)
( ) ( ) ( )
α b
T 1 o
T α b
T
=
(3.53)
}
c D
{{ }
= Ã
mit dem Schur–Komplement
}
cα −1
{{
I
}
= ˜L
das eine Rang-1–Modifikation von D ist.
}
o S
{{ }
= ˜R
S = D − cα −1 b T , (3.54)
Diese zwei Formeln beschreiben offenbar gerade den ersten Schritt
der (gewöhnlichen) LR–Zerlegung, und man sieht, dass das Schur–
Komplement gerade die Koeffizientenmatrix des ersten Restgleichungssystems
ist.
Analog gilt im zweiten Fall, in dem wir uns auf (3.49) stützen wollen,
also annehmen, das der (1, 1)–Block A bereits in A = LR
zerlegt sei:
( ) (
) ( )
A b L o R L −1 b
=
(3.55)
}
c T δ
{{ }
= Ã
}
c T R −1 {{
1
}
= ˜L
mit dem skalaren Schur–Komplement
}
o T σ
{{ }
= ˜R
σ = δ − c T A −1 b = δ − c T R −1 L −1 b . (3.56)
Wenn wir diese zwei Formeln rekursiv anwenden, eröffnen sie uns
eine neue, rekursive Variante der LR–Zerlegung, die allerdings keine
Zeilenvertauschungen zulässt. Wir führen dazu noch geeignete
Bezeichnungen ein.
Definition: Die einer m × n Matrix A = ( a ij
)1≤i≤m, 1≤j≤n
zugeordneten min{m, n} quadratischen Teilmatrizen
A k = ( a ij
)1≤i≤k, 1≤j≤k
(k = 1, . . . , min{m, n}) (3.57)
heissen führende Hauptuntermatrizen [leading principal submatrices]
von A.
Unter Verwendung der Bezeichnungen
( )
Ak b k
A k = L k R k , A k+1 =
c T k a k+1,k+1
(3.58)
können wir Formeln (3.55)–(3.56) umschreiben in
( ) ( ) (
Ak b k
Lk o Rk L −1
k
c T =
b )
k
k a k+1,k+1 c T k
} {{ }
R−1 k
1 o T , (3.59)
σ k+1
} {{ } } {{ }
=: A k+1 =: L k+1 =: R k+1
σ k+1 := a k+1,k+1 − c T k R −1
k
L−1 k b k . (3.60)
LA-Skript 3-14 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht