Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Nullstellen, wenn man diese mit ihrer Vielfachheit zählt. Es gibt also
drei Eigenwerte, wobei aber zwei davon oder alle drei zusammenfallen
können. Zudem können zwei Nullstellen konjugiert-komplex sein.
In diesem Beispiel kann man erraten, dass λ 1 = 1 eine Nullstelle von χ A
ist. Das Abspalten [deflation] dieser Nullstelle, das heisst die Division
des Polynoms χ A durch den Linearfaktor (1 − λ), liefert
(−λ 3 + 2λ 2 + λ − 2) : (1 − λ) = λ 2 − λ − 2 ,
also ein quadratisches Polynom mit den Nullstellen λ 2 = 2 und λ 3 = −1.
Somit hat A das Spektrum
σ(A) = {1, 2, −1} .
Beispiel 9.5: Dass es wirklich komplexe Eigenwerte geben kann, selbst
wenn A reell ist, zeigt schon das einfache Beispiel
( ) 0 −1
A =
,
1 0
det (A − λI) =
∣ −λ −1
1 −λ ∣ = λ2 + 1 .
Die Eigenwerte sind hier rein imaginär:
λ 1 = i , λ 2 = −i .
Aufgrund der Determinanten-Definition (8.6) sieht man, dass
a 11 − λ a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 − λ · · · a 2n
det (A − λI) =
. . . .. .
∣ a n1 a n2 · · · a nn − λ ∣
= (−λ) n + (a 11 + · · · + a nn )(−λ) n−1 + · · · + det A
≡: χ A (λ) (9.10)
ein Polynom χ A vom Grade n in λ ist. Dessen Höchstkoeffizient ist
(−1) n , der konstante Koeffizient ist gerade det A.
Der zweithöchste Koeffizient ist das (−1) n−1 –fache der Summe der
Diagonalelemente von A.
Definition:
Das Polynom
χ A (λ) :≡ det (A − λI) (9.11)
heisst charakteristisches Polynom [characteristic polynomial]
der Matrix A ∈ E n×n , und die Gleichung
χ A (λ) = 0 (9.12)
ist die charakteristische Gleichung [characteristic equation].
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-5