Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
Dabei braucht man für die Berechnung von R k+1 , σ k+1 und L k+1
gemäss (3.59)–(3.60) die Inversen R −1
k
und L −1
k
nicht, denn man
kann ja L −1
k
b k und (R T k )−1 c k durch Vorwärtseinsetzen berechnen.
Die Rekursionen für R k+1 , σ k+1 und L k+1 brechen zusammen, sobald
σ k+1 null wird, denn dann existiert R −1
k+1
nicht. In der Tat ist
σ k+1 das Pivotelement im (k + 1)ten Eliminationsschritt. Nachfolgend
ein Kriterium dafür, dass es nicht zum Abbruch kommt.
Satz 3.6 Eine m×n Matrix A vom Rang r lässt sich genau dann
ohne Zeilenvertauschungen LR–zerlegen, wenn die r führenden
Hauptuntermatrizen A k (k = 1, . . . , r) regulär sind.
Beweis: Für Matrizen vom Rang 1 ist der Satz richtig, denn eine
LR–Zerlegung existiert genau dann, wenn a 11 nicht null ist. Nach einem
Schritt ist die Zerlegung fertig.
Allgemein: Lässt sich A ohne Zeilenvertauschungen LR–zerlegen, so gilt
A = LR, wobei r 11 , . . . , r rr ≠ 0. Dabei ist A k = L k R k (k = 1, . . . , r),
wobei die Faktoren und damit auch A 1 , . . . , A r regulär sind.
Für die Umkehrung verwenden wir Induktion nach r, wobei die Verankerung
(r = 1) schon erledigt ist. Wir nehmen also an, dass wenn
Rang (A) ≡ r = l ist und A 1 , . . . , A r regulär sind, die LR–Zerlegung
A = LR existiert und wollen zeigen, dass das auch für r = l + 1 gilt.
Es gelte also Rang (A) ≡ r = l+1, und es seien A 1 , . . . , A r regulär. Weil
A 1 , . . . , A r−1 regulär sind, lässt sich A r−1 ohne Zeilenvertauschungen
LR–zerlegen, d.h. A r−1 = L r−1 R r−1 , wobei L r−1 und R r−1 auch die
führenden Hauptuntermatrizen der Faktoren L und R sind, die zu einer
allfälligen LR–Zerlegung von A gehören. Da auch A r regulär ist, folgt
aus Lemma 3.5, dass das Schurkomplement von A r−1 bezüglich A r nicht
null ist: σ = r rr ≠ 0. Damit sind r nichtverschwindende Pivots gefunden;
die allenfalls verbleibenden m − r Zeilen von R (in der Zeilenstufenform
von A) enthalten lauter Nullen, und es gilt A = LR.
Zusammenfassend erhalten wir:
Algorithmus 3.3 (LR–Zerlegung durch Updating) Zur
LR–Zerlegung einer regulären Matrix A, deren n − 1 führende
Hauptuntermatrizen A k (k = 1, . . . , n − 1) regulär sind, setze man
zunächst L 1 := ( 1 ) , R 1 := ( a 11
)
. Für k = 1, . . . , n − 1 teile
man dann A k+1 gemäss (3.58) in vier Blöcke auf und berechne
σ k+1 := a k+1,k+1 − c T k R −1
k
L−1 k b k , (3.61a)
( )
Lk o
L k+1 :=
, (3.61b)
R k+1 :=
c T k R−1 k
1
b )
k
o T σ k+1
(
Rk L −1
k
. (3.61c)
Dabei erhält man L −1
k
b k und (R T k )−1 c k durch Vorwärtseinsetzen.
Der Algorithmus bricht nur ab, wenn entgegen der Voraussetzung
eine der Hauptuntermatrizen singulär ist, und zwar ist σ k = 0
(und damit R k singulär) genau dann, wenn A k singulär ist.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-15