Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
X ist der Definitionsraum [domain], Y der Bildraum [image
space] der Abbildung.
Ist der Bildraum Y der Skalarenkörper E, so bezeichnet man eine
lineare Abbildung als lineares Funktional [linear functional].
Sind Definitions- und Bildraum Funktionenräume, so spricht man
statt von einer linearen Abbildung von einem linearen Operator
[linear operator].
Ist der Definitionsraum gleich dem Bildraum, das heisst ist X = Y ,
so hat man eine Selbstabbildung.
Die Eigenschaften (5.1) sind gleichwertig mit
F (βx + γ˜x) = βF x + γF ˜x (∀x, ˜x ∈ X, ∀β, γ ∈ E). (5.2)
Man beachte auch, dass die Bezeichnung “Bildraum” nicht unbedingt
bedeutet, dass Y = F (X) ist, das heisst, dass es zu jedem
y ∈ Y ein x ∈ X mit y = f(x) gibt.
Beispiel 5.1: Ist A ∈ E m×n eine vorgegebene m × n–Matrix, so
definiert die Zuordnung x ↦→ Ax eine lineare Abbildung des E n in den
E m , die wir ebenfalls mit A bezeichnen:
A : E n → E m , x ↦→ Ax . (5.3)
y ∈ E m ist genau dann Bild eines x ∈ E n , wenn das Gleichungssystem
Ax = y eine Lösung x hat.
Beispiel 5.2: Der Übergang von einer auf [a, b] stetig differenzierbaren
Funktion f zu ihrer Ableitung f ′ definiert den Ableitungsoperator,
eine lineare Abbildung von C 1 [a, b] in C[a, b]:
D : C 1 [a, b] → C[a, b] , f ↦→ f ′ . (5.4)
Ihre Linearität folgt aus (αf + βg) ′ = αf ′ + βg ′ .
Allgemeiner ist, bei festen reellen Koeffizienten (oder festen stetigen reellen
Funktionen) c 0 , c 1 , . . . , c m , der Differentialoperator
L : C m [a, b] → C[a, b] ,
f ↦→ c m f (m) + c m−1 f (m−1) + · · · + c 1 f ′ + c 0 f
ein linearer Operator, also eine lineare Abbildung.
(5.5)
Beispiel 5.3:
definiert durch
Bei festem t ∈ [a, b] ist die Evaluationsabbildung
E t : C[a, b] → R, f ↦→ E t f :≡ f(t) (5.6)
wegen (αf + βg)(t) = αf(t) + βg(t) ein lineares Funktional. Ist zum
Beispiel
f(t) = α + βt + γt 2 ,
so gilt
E 0 f = f(0) = α , E 2 f = f(2) = α + 2β + 4γ .
LA-Skript 5-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht