Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiel 9.2: Für eine Rotation im R 3 um den Winkel φ um eine durch
den Ursprung gehende Achse mit der Richtung a ist a ein Eigenvektor
zum Eigenwert 1, denn die Punkte auf der Achse bleiben invariant (fest).
Für |φ| < π sind die Ortsvektoren dieser Punkte die einzigen, die fest
bleiben, das heisst es ist E 1 = span {a}.
Ist φ = ±π, so gibt es auch noch Eigenvektoren zum Eigenwert −1:
Jeder Vektor in der Ebene, die durch O geht und zu a senkrecht steht,
also jedes x mit 〈a, x〉 = 0, ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert −1.
Ergänzt man a/‖a‖ zu einer orthonormalen Basis von R 3 , so hat die
Rotation um φ = ±π bezüglich dieser Basis gerade die Abbildungsmatrix
⎛
⎝
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
Beispiel 9.3: Für die Projektion P : R 3 → R 2 ⊂ R 3 , die in cartesischen
Koordinaten definiert ist durch
gilt
Zudem ist
⎞
⎠ .
P : ( x 1 x 2 x 3
) T ↦−→
(
x1 x 2 0 ) T ,
im P = { ( x 1 x 2 0 ) T ; x1 , x 2 ∈ R},
ker P = { ( 0 0 x 3
) T ; x3 ∈ R}.
Px = x = 1 x falls x ∈ im P ,
Px = o = 0 x falls x ∈ ker P ,
Also hat P die Eigenwerte 1 und 0, wobei 1 die geometrische Vielfachheit
2 hat, während 0 die geometrische Vielfachheit 1 hat:
E 1 = im P , dim E 1 = 2 , E 0 = ker P , dim E 0 = 1 .
Wir werden gleich sehen, dass dies alle Eigenwerte (und damit auch alle
Eigenräume) sind.
In den oben vorausgesetzten cartesischen Koordinaten wird die Projektion
beschrieben durch die Diagonalmatrix
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Völlig analog verhält es sich mit jeder anderen Projektion des R 3 auf eine
(zweidimansionale) Ebene: Die Eigenwerte sind wieder 1, 1, 0, aber die
Eigenvektoren hängen natürlich sowohl von der gewählten Projektion
als auch von der gewählten Basis ab. Wählt man in der Bildebene im P
zwei Basisvektoren und in der Projektionsrichtung ker P den dritten, so
wird die Projektion wieder durch obige Matrix beschrieben.
⎞
⎠ .
Auf Matrizen übersetzt, lautet Lemma 9.2 wie folgt:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-3