Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Eine m×n–Matrix deren Elemente alle null sind heisst Nullmatrix
[zero matrix]. Sie wird mit O bezeichnet 3 . Analog ist der Nullvektor
[zero vector] ein Kolonnenvektor mit lauter Nullen als Komponenten;
er wird hier mit o bezeichnet 4 .
Beispiel 2.2: Die 2 × 3–Nullmatrix und der Nullvektor mit 3 Komponenten
sind gegeben durch
⎛ ⎞
( )
0
0 0 0
O =
, o = ⎝ 0 ⎠ .
0 0 0
0
Eine n × n–Matrix D heisst diagonal [diagonal], d.h. ist eine Diagonalmatrix
[diagonal matrix], falls (D) ij = 0 für i ≠ j. Für die
Diagonalmatrix mit gegebenen Diagonalelementen d 11 , d 22 , . . . , d nn
schreiben wir
D = diag (d 11 , d 22 , . . . , d nn ) .
Beispiel 2.3:
D =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 3 0
0 0 0 −1
⎞
⎟
⎠ = diag (1, 5, 3, −1) .
Die n × n–Matrix I n = diag (1, 1, . . . , 1) ist die Einheitsmatrix
[unit matrix] oder Identität [identity] der Ordnung n. Oft schreiben
wir einfach I und entnehmen die Grösse dem Kontext.
Beispiel 2.4:
⎛
I = I 3 = ⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ .
Eine Matrix R ist eine obere Dreiecksmatrix [upper triangular
matrix] oder Rechtsdreiecksmatrix, falls (R) ij = 0 für i > j.
Beispiel 2.5:
R =
⎛
⎜
⎝
1 3 5 7
0 2 4 6
0 0 3 6
0 0 0 4
⎞
⎟
⎠ .
Eine Matrix L ist eine untere Dreiecksmatrix [lower triangular
matrix] oder Linksdreiecksmatrix, falls (L) ij = 0 für i < j.
Beispiel 2.6:
⎛
L = ⎝
9.8765 0 0
7.6543 8.7654 0
4.3210 5.4321 6.5432
⎞
⎠ .
3 Viele Autoren schreiben allerdings 0 (Null) statt O (gross “Oh”).
4 Üblich ist auch hier die nicht gerade konsequente Bezeichnung durch eine
gewöhnliche Null: 0.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-3