Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
Beispiel 8.5: In unserem Beispiel 1.2 haben wir das System (1.9),
x 2 + 4x 3 = 1
2x 1 + 4x 2 − 4x 3 = 1
4x 1 + 8x 2 − 3x 3 = 7
mit dem Gauss-Algorithmus gelöst, wobei zunächst eine Zeilenvertauschung
1 ↔ 2 nötig war und danach die Pivotelemente r 11 = 2, r 22 = 1
und r 33 = 5 resultierten. Nach Formel (8.10) bzw. Algorithmus 8.1 ist
also
det A = (−1) 1 · 2 · 1 · 5 = −10 ,
was man leicht mit der Formel von Sarrus, (8.7), überprüfen kann.
Es gilt sogar, dass die Eigenschaften (i)–(iii) aus Satz 8.3 charakteristisch
sind für die Determinante. Es bleibt dazu zu zeigen, dass
aus den Eigenschaften (i)–(iii) die Formel (8.6) folgt.
Satz 8.6 Die durch (8.6) definierte Determinante ist das einzige
auf E n×n definierte Funktional mit den Eigenschaften (i)–(iii) aus
Satz 8.3, das heisst diese Eigenschaften sind charakteristisch für
die Determinante.
Beweis (Idee):
Schreiben wir für l = 1, . . . , n die lte Zeile von A als
a l1 e T 1 + a l2 e T 2 + · · · + a ln e T n
und wenden wir Eigenschaft (i) je für l = 1, . . . , n, also n–mal auf eine
solche Summe von n Termen an, so ergibt sich, wie man leicht sieht,
det A =
n∑
k 1 =1
n∑
· · ·
k 2 =1
n∑
k n=1
a 1,k1 a 2,k2 · · · a n,kn
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ e T k 1
e T k 2
.
e T k n
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣
.
In dieser Sume von n n Termen sind aber aufgrund der Eigenschaft (vi)
nur jene Determinanten nicht null, wo (k 1 , . . . , k n ) eine Permutation von
(1, . . . , n) ist, d.h. es ist
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ e T p(1)
det A = ∑
e T p(2)
a 1,p(1) a 2,p(2) · · · a n,p(n) ,
p∈S n
.
∣
Anwendung der Eigenschaft (ii) liefert schliesslich
det A = ∑
e T p(n)
p∈S n
(sign p) a 1,p(1) a 2,p(2) · · · a n,p(n) det I ,
was wegen Eigenschaft (iii) mit der Formel (8.6) übereinstimmt.
Mit Hilfe von Satz 8.6 können wir nun eine weitere grundlegende
Eigenschaft der Determinante beweisen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-7