Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Satz 2.14 Eine m × n Matrix hat genau dann den Rang 1, wenn
sie das äussere Produkt eines m–Vektors x ≠ o und eines n–
Vektors y ≠ o ist.
Beweis: Hat eine Matrix A Rang 1, so gibt es eine Zeile y T , die
nicht null ist, und alle andere Zeilen sind Vielfache davon (denn im
Gauss’schen Algorithmus kann man Vielfache dieser Zeile von den anderen
subtrahieren und erhält dabei lauter Nullzeilen). Im komplexen Fall
darf man diese Zeile auch mit y H bezeichnen. Ihr Index sei l. Nennen
wir den Multiplikator für die i–te Zeile x i , und setzen wir x l := 1 und
x := ( ) T,
x 1 . . . x n so ist gerade A = x y H , wobei x ≠ o und y ≠ o.
Ist umgekehrt A = x y H mit x ≠ o, y ≠ o, so gibt es ein x l ≠ 0, womit
die l–te Zeile von A nicht null ist. Wählt man diese Zeile als Pivotzeile,
so kann man, für alle i ≠ l, durch Subtraktion des x i /x l –fachen der
l–ten Zeile die i–te Zeile zu null machen. Es folgt, dass A (nach unserer,
auf der Anwendung des Gauss–Algorithmus beruhenden Definition des
Ranges) den Rang 1 hat.
Das äussere Produkt eines Vektors y mit sich selbst wird gebraucht
für die orthogonale Projektion auf die Gerade (durch O) mit der
durch y gegebenen Richtung:
Satz 2.15 Die orthogonale Projektion P y x des n–Vektors x auf
die durch die Vielfachen von y (≠ o) erzeugte Gerade durch den
Ursprung ist gegeben durch
P y x :≡ 1
‖y‖ 2 y yH x = u u H x , (2.61)
worin u :≡ y/‖y‖.
Im Reellen kann man y H durch y T ersetzen.
Beweis: Die Projektion P y x zeichnet sich geometrisch dadurch aus,
dass für alle x gilt:
(i) P y x = αy für einen von x abhängigen Skalar α,
(ii) x − P y x ⊥ y.
Diese zwei Eigenschaften sind für den in (2.61) definierten Ausdruck
für P y x zu verifizieren, wobei wir annehmen dürfen, dass ‖y‖ = 1 und
damit der Bruch wegfällt.
Zu (i): Es ist P y x = y (y H x), wobei in der Klammer ein Skalar steht.
Also gilt (i) mit α :≡ y H x. Beachte, dass hier (2.21) angewendet wird.
Zu (ii): Unter Verwendung von y H y = ‖y‖ 2 = 1 folgt
〈 〉
〈y, x − P y x〉 = 〈y, x〉 − y, y y H x = y H x − y H y y H x = 0 .
P y x kann man so interpretieren: Auf den zu projizierenden Vektor
x wird die Rang-1–Matrix
P y :≡ 1
‖y‖ 2 y yH = u u H ≡: P u (2.62)
LA-Skript 2-24 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht