Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem 1. Ord-
Beispiel 10.1:
nung
ẏ 1 (t) = −2y 1 (t) + 2y 3 (t)
ẏ 2 (t) = −2y 1 (t) − 3y 2 (t) − 4y 3 (t)
ẏ 3 (t) = − 3y 3 (t)
(10.12)
und die Anfangsbedingungen
y 1 (0) = 0 , y 2 (0) = 0 , y 3 (0) = 1 . (10.13)
Die (10.12) entsprechende Matrix A ist
⎛
A = ⎝
Sie hat die Eigenwertzerlegung
⎛
1 −2 0
−2 0 −1
0 1 0
⎞ ⎛
−2 0 2
−2 −3 −4
0 0 −3
−2 0 0
0 −3 0
0 0 −3
⎞
⎠ . (10.14)
⎞ ⎛
1 0 2
0 0 1
−2 −1 −4
.
A = ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
V
Λ
V −1
} {{ } } {{ } } {{ }
(10.15)
Es würde allerdings genügen, V zu kennen, V −1 bräuchte man nicht.
Weil hier der Vektor y 0 der Anfangswerte gerade gleich e 3 ist, ist die
Lösung c von Vc = y 0 aber gerade gleich der dritten Kolonne von V −1 :
c = V −1 y 0 = V −1 e 3 = ( 2 1 −4 ) T . (10.16)
Nach (10.10) erhält man damit als Lösung des Anfangswertproblems
(10.12)–(10.13)
⎞
y(t) = V e tΛ c
⎛
⎞ ⎛
1 −2 0
= ⎝ −2 0 −1 ⎠ ⎝
⎛
0 1 0
⎞ ⎛
1 −2 0
= ⎝ −2 0 −1 ⎠ ⎝
0 1 0
⎛
= ⎝
2e −2t − 2e −3t ⎞
−4e −2t + 4e −3t ⎠ .
e −3t
e −2t ⎞ ⎛
0 0
0 e −3t 0 ⎠ ⎝
0 0 e −3t
2e −2t ⎞
e −3t ⎠
−4e −3t
2
1
−4
⎞
⎠
Wir betonen, dass die Transformationsmethode in der hier beschriebenen
Form voraussetzt, dass A diagonalisierbar ist. Die Methode
ist erweiterbar auf nicht-diagonalisierbare Matrizen, aber dann
komplizierter. Wir nehmen auch im Rest dieses Abschnittes an,
dass A diagonalisierbar ist. Dagegen führen mehrfache Eigenwerte
mit voller geometrischer Vielfachheit auf keine Schwierigkeiten, wie
obiges Beispiel illustriert.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-3