Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
Die Grundregeln (V1)–(V8) nennt man wieder Axiome [axioms],
weil sie postulierte Grundeigenschaften der mathematischen Struktur
“Vektorraum” sind. Allein auf ihnen aufbauend wird die ganze
Theorie abstrakter Vektorräume aufgestellt. Will man anderseits
nachweisen, dass eine bestimmte Menge zusammen mit geeignet
gewählten Operationen “Addition” und “skalare Multiplikation” effektiv
einen Vektorraum bildet, muss man verifizieren, dass wirklich
in diesem Falle (V1) bis (V8) gelten. Solche Beispiele werden wir
gleich betrachten. Häufig ist dabei der Nachweis der meisten Axiome
so einfach, dass es sich nicht lohnt, die Details aufzuschreiben.
Die Axiome (V1)–(V4) besagen gerade, dass ein Vektorraum bezüglich
der Addition eine kommutative Gruppe bildet; vgl. Seite 2-9.
Wir betrachten nun eine Reihe von Beispielen von Vektorräumen:
Beispiel 4.1:
Der Raum R n der reellen n-Vektoren
x =
⎛
⎜
⎝
⎞
x 1
.
x n
⎟
⎠ , y =
⎛
⎜
⎝
⎞
y 1
⎟
. ⎠ , . . .
y n
mit der Addition
x + y =
⎛
⎜
⎝
⎞ ⎛
x 1
⎟ ⎜
. ⎠ + ⎝
x n
⎞
y 1
.
y n
⎟
⎠ :≡
⎛
⎜
⎝
⎞
x 1 + y 1
⎟
. ⎠
x n + y n
(4.1a)
und der skalaren Multiplikation
⎛
⎜
αx = α ⎝
⎞
x 1
.
x n
⎟
⎠ :≡
⎛
⎜
⎝
⎞
αx 1
⎟
. ⎠ .
αx n
(4.1b)
Beispiel 4.2: Der Raum C[a, b] der auf dem Intervall [a, b] definierten
und dort stetigen reellen Funktionen [continuous real functions] mit
der (punktweisen) Addition
f + g : x ∈ [a, b] ↦−→ f(x) + g(x) ∈ R (4.2a)
und der (punktweisen) skalaren Multiplikation
αf : x ∈ [a, b] ↦−→ αf(x) ∈ R . (4.2b)
Beispiel 4.3: Der Raum C m [a, b] der auf dem Intervall [a, b] m-mal
stetig differenzierbaren Funktionen [m-times continuously differentiable
functions] mit (4.2a) und (4.2b). Hier ist (0 < m ≤ ∞). Zudem
setzt man C 0 [a, b] :≡ C[a, b].
LA-Skript 4-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht