Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Wir werden später sehen, dass Matrizen lineare Abbildungen darstellen
bezüglich einem oder zwei fest gewählten Koordinatensystemen.
Durch geeignete Wahl der Koordinaten kann man eine Matrix
oft durch eine “einfachere” ersetzen. Hessenberg-, Tridiagonal- und
Bidiagonalmatrizen spielen dabei eine wichtige Rolle.
In vielen Anwendungen, vor allem beim numerischen Lösen von partiellen
Differentialgleichungen, treten Matrizen auf, die sehr gross
sind, aber nur sehr wenige von Null verschiedene Elemente haben,
welche nicht auf ein schmales Band um die Diagonale beschränkt
sind. Man nennt diese Matrizen dünn besetzt [sparse].
In anderen Anwendungen kommen ganz speziell struktutierte Matrizen
vor. Die folgenden zwei Typen sind weitverbreitet.
Die Matrix A = ( a ij
)
ist eine Toeplitz–Matrix 17 [Toeplitz matrix],
falls a ij nur von der Differenz i − j abhängt, und es ist eine
Hankel–Matrix 18 [Hankel matrix], falls a ij nur von der Summe
i + j abhängt.
Beispiele 2.33: Hier sind Beispiele einer Toeplitz–Matrix T und einer
Hankel–Matrix H:
⎛
⎞
⎛
⎞
9 7 5 3 1
9 8 7 6 5
8 9 7 5 3
T =
⎜ 7 8 9 7 5
⎟
⎝ 6 7 8 9 7 ⎠ , H = 8 7 6 5 4
⎜ 7 6 5 4 3
⎟
⎝ 6 5 4 3 2 ⎠ .
5 6 7 8 9
5 4 3 2 1
Jede Matrix lässt sich durch horizontale und/oder vertikale Trennlinien
in Blöcke aufteilen, die selbst Matrizen sind. Wir bezeichnen
die Matrix dann als Blockmatrix [block matrix]. Wir nennen
die Blöcke von A zum Beispiel A kl . Sie brauchen nicht von
derselben Grösse zu sein, aber für festes k sind die (nebeneinanderliegenden)
Blöcke A kl alle gleich hoch, und für festes l sind die
(übereinanderliegenden) Blöcke A kl alle gleich breit.
Beispiel 2.34:
⎛
⎛
⎞
A 11 A 12
A = ⎝ A 21 A 22
⎠ =
A 31 A 32
⎜
⎝
9 8 7 6 5
7 9 5 7 6
7 6 5 4 3
5 7 3 5 4
3 5 1 3 5
1 2 3 4 5
ist eine Blockmatrix mit der speziellen Eigenschaft, dass alle Blöcke
Toeplitz-Struktur haben.
⎞
⎟
⎠
17 Otto Toeplitz (1.8.1881 – 15.2.1940), deutscher Mathematiker, Professor
in Kiel (1913–1927) und Bonn (1927–1933); 1938 Emigration nach
Palästina.
18 Hermann Hankel (14.2.1839 – 29.8.1873), deutscher Mathematiker, Professor
in Erlangen und Tübingen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-33