Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Aus der Definition der 2–Norm und den Eigenschaften des Skalarproduktes
folgt eine aus dem R 2 wohlbekannte Ungleichung:
Satz 2.11 Für alle Paare x, y ∈ E n gilt die Schwarzsche Ungleichung
[Schwarz inequality]
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ . (2.52)
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn y ein Vielfaches ist
von x oder umgekehrt.
Statt Schwarzsche Ungleichung sagt man oft Cauchy-Schwarz-
Ungleichung 11 [Cauchy-Schwarz inequality] oder sogar Cauchy-
Bunjakovski-Schwarz-Ungleichung 12 [CBS inequality].
Die Schwarzsche Ungleichung ist eine Eigenschaft des Skalarproduktes,
nicht der Norm, denn quadriert lautet sie
|〈x, y〉| 2 ≤ 〈x, x〉 〈y, y〉 . (2.53)
Der folgende Beweis, der nur auf den Eigenschaften des Skalarproduktes
beruht, liefert deshalb zunächst diese Form.
Beweis:
Für beliebiges α ∈ E ist
0 ≤ 〈αx + y, αx + y〉 = αα 〈x, x〉 + α 〈x, y〉 + α〈x, y〉 + 〈y, y〉 .
Für x = o gilt (2.52) offensichtlich, und zwar mit dem Gleichheitszeichen.
Wir dürfen also x ≠ o annehmen und α = − 〈x,y〉
〈x,x〉
wählen, womit
nach Multiplikation mit 〈x, x〉 folgt:
0 ≤ | 〈x, y〉 | 2 − | 〈x, y〉 | 2 − | 〈x, y〉 | 2 + 〈x, x〉 〈y, y〉 ,
also (2.53), was äquivalent ist mit (2.52).
Das Gleichheitszeichen gilt genau, wenn x = o oder αx + y = o ist, was
gerade heisst, dass y ein Vielfaches von x ist oder umgekehrt. (Ausser
wenn x = o oder y = o gilt, ist dann y ein Vielfaches von x ist und
umgekehrt.)
Beispiel 2.18:
nach (2.53)
Für beliebige reelle Zahlen x 1 , . . . x n , y 1 , . . . , y n gilt
( n∑ ) 2 ( n∑
x k y k ≤
k=1
k=1
x 2 k
)( n∑
Zum Beispiel erhält man für die zwei Vektoren
j=1
y 2 j
)
. (2.54)
x := ( 2 2 1 ) T , y :=
(
0 15 8
) T
(2.55)
11 Augustin Louis Cauchy (21.8.1789 – 23.5.1857), französicher Mathematiker,
ab 1916 Professor an der Ecole Polytechnique, später an der Sorbonne;
königstreu und streng katholisch; fast 800 Publikationen, darunter wichtige
Beiträge zur Gruppentheorie, Analysis und komplexen Funktionentheorie.
Hermann Amandus Schwarz (25.1.1843 – 30.11.1921), deutscher Mathematiker,
Professor in Zürich, Göttingen und Berlin.
12 Victor Jakowlewitsch Bunjakovski [englische Transkription: Bunyakovskii],
(16.12.1804 – 12.12.1889), russischer Mathematiker in Peterburg.
LA-Skript 2-20 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht