Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
6.4 Orthogonale Komplemente
Wenn wir den Satz 6.6 über das Gram–Schmidt–Verfahren mit
dem früheren Satz 4.11 kombinieren, gemäss dem eine linear unabhängige
Menge von Vektoren zu einer Basis ergänzt werden kann,
folgt sofort:
Korollar 6.8 In einem Vektorraum endlicher Dimension mit
Skalarprodukt kann man jede Menge orthonormaler Vektoren zu
einer orthonormalen Basis ergänzen.
Das gilt auch noch für Vektorräume mit abzählbar unendlicher Basis,
wie z.B. den Raum P aller Polynome, aber wir wollen uns in
diesem Abschnitt der Einfachheit halber auf Räume endlicher Dimension
beschränken, wo gewisse Schwierigkeiten nicht auftreten.
Bezeichnen wir wie in (4.32) und (4.33) die gegebene Menge orthonormaler
Vektoren mit M = {b 1 , . . . , b l } und die Ergänzungsmenge
mit N = {b l+1 , . . . , b n }, so gilt für die von diesen Mengen aufgespannten
Unterräume
U :≡ span M = span {b 1 , . . . , b l } ,
U ′ :≡ span N = span {b l+1 , . . . , b n } ,
(6.39)
gemäss (4.36) dass V = U ⊕ U ′ gilt, aber zusätzlich ist U ⊥ U ′ .
Stellen wir irgend ein x ∈ V in der Basis dar, so ist
mit
x = ξ 1 b 1 + · · · ξ l b } {{ } l + ξ l+1 b l+1 + · · · ξ n b n = u + u ′
} {{ }
≡: u ∈ U ≡: u ′ ∈ U ′
u ⊥ U ′ , u ′ ⊥ U .
Man bezeichnet den Unterraum U ′ deshalb oft mit U ⊥ . Offensichtlich
ist er eindeutig bestimmt, denn er enthält genau alle zu U
orthogonale Vektoren von V .
Definition: In einem endlich-dimensionalen Vektorraums V mit
Skalarprodukt heisst der zu einem echten Unterraum U orthogonale
komplementäre Unterraum das orthogonale Komplement
[orthogonal complement] von U und wird mit U ⊥ ( U senkrecht“
”
[“U perp”]) bezeichnet. Es wird implizit charakterisiert durch die
Beziehungen
V = U ⊕ U ⊥ , U ⊥ U ⊥ (6.40)
oder explizit durch
U ⊥ :≡ {x ∈ V ; x ⊥ U} . (6.41)
Wir nennen dann V eine direkte Summe orthogonaler Komplemente
[direct sum of orthogonal complements].
Offensichtlich ist
(U ⊥ ) ⊥ = U (6.42)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-13