Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen sind auch insofern speziell als man am Kern
erkennen kann, ob sie eineindeutig sind:
Satz 5.6 F ist genau dann injektiv, wenn ker F = {o} ist.
Beweis: Ist F injektiv, so hat o ∈ Y ein einziges Urbild, nämlich
o ∈ X. Ist umgekehrt ker F = {o} und x ≠ y, d.h. x − y ≠ o, so folgt
F (x − y) ≠ o, also, weil F linear ist, F x ≠ F y.
Wir wollen uns nun den Dimensionen der Unterräume ker F ⊆ X
und im F ⊆ Y zuwenden und setzen dabei dim X < ∞ voraus. Es
besteht der folgende grundlegende Zusammenhang:
Satz 5.7 Es gilt die Dimensionsformel
dim X − dim ker F = dim im F . (5.28)
Beweis: Es sei {c 1 , . . . , c r } eine Basis von im F . Wir bezeichnen mit
b 1 , . . . , b r einen Satz von Urbildern von c 1 , . . . , c r . Weiter sei {b r+1 , . . . ,
b r+k } eine Basis von ker F . Wir zeigen, dass {b 1 , . . . , b r , b r+1 , . . . , b r+k }
eine Basis von X ist, dass also r + k = dim X gilt.
(i) Wir zeigen zuerst, dass {b 1 , . . . , b r+k } ganz X erzeugt. Zu x ∈ X gibt
es γ 1 , . . . , γ r mit
F x = γ 1 c 1 + · · · + γ r c r = F (γ 1 b 1 + · · · + γ r b r ) .
Also ist x − γ 1 b 1 − · · · − γ r b r ∈ ker F , d.h. es gibt γ r+1 , . . . , γ r+k mit
x − γ 1 b 1 − · · · − γ r b r = γ r+1 b r+1 + · · · + γ r+k b r+k ,
d.h. x ∈ span {b 1 , . . . , b r+k }.
(ii) Weiter zeigen wir, dass b 1 , . . . , b r+k linear unabhängig sind. Aus
folgt, dass
∑r+k
γ j b j = o
j=1
γ 1 c 1 + · · · + γ r c r = F (γ 1 b 1 + · · · + γ r b r )
= F (−γ r+1 b r+1 − · · · − γ r+k b
} {{ r+k ) = o .
}
∈ ker F
Also ist γ 1 = · · · = γ r = 0, denn c 1 , . . . , c r sind linear unabhängig. Unter
Verwendung der Voraussetzung folgt weiter, dass
∑r+k
j=r+1
γ j b j =
∑r+k
j=1
γ j b j = o ,
woraus sich wegen der linearen Unabhängigkeit von b r+1 , . . . , b r+k ergibt,
dass γ r+1 = · · · = γ r+k = 0.
Die Dimensionsformel gibt eine reiche Ernte. Wir bleiben zunächst
bei den abstrakten linearen Abbildungen. Eine Reihe von Folgerungen
in der Matrixtheorie werden wir im nächsten Abschnitt besprechen.
Zunächst definieren wir auch für lineare Abbildungen einen
Rang.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-9