Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
Lemma 3.7 Eine reell symmetrische oder Hermitesche Matrix,
die positiv definit ist, ist regulär.
Beweis: Wäre eine spd oder Hpd Matrix A singulär, gäbe es nach
Korollar 1.7 nichttriviale Lösungen x des homogenen Systems Ax = o.
Für diese x wäre aber x T Ax = 0 bzw. x H Ax = 0 im Widerspruch zu
(3.66) und (3.67).
Im folgenden betrachten wir den Hermiteschen Fall; den reell symmetrischen
erhält man daraus als Spezialfall: im wesentlichen ist H
durch T zu ersetzen.
Es sei also A eine Hpd Matrix der Ordnung n. Wählt man x ∈ C n
speziell von der Form
( ) u
x =
mit u ∈ C k , u ≠ o ,
o
so sieht man, dass auch jede Hauptuntermatrix A k positiv definit
ist:
0 < x H Ax = u H A k u für alle u ∈ C k , u ≠ o .
Insbesondere ist nach Lemma 3.7 A k für k = 1, . . . , n regulär. Dies
bedeutet nach Satz 3.6, dass man A ohne Zeilen zu vertauschen
LR–zerlegen kann: A = LR = LDL H , wobei L und D regulär sind.
Damit gilt für beliebiges x ∈ C n , x ≠ o, dass
0 < x H Ax = x H LDL H x = y H Dy . (3.68)
falls y :≡ L H x. Weil L T regulär ist, gibt es zu jedem y ≠ o ein
x ≠ o, das heisst (3.68) gilt auch für alle y ≠ o. Da D diagonal ist,
bedeutet das, dass d ii > 0 (i = 1, . . . , n), womit man D 1 2 und ˜R
wie in (3.63) und (3.64) definieren kann. Mit anderen Worten, die
Cholesky-Zerlegung von A existiert.
Umgekehrt, folgt aus der Existenz der Cholesky-Zerlegung A =
˜R H ˜R sofort, dass A Hermitesch ist. Weiter gilt mit der Definition
y :≡ ˜Rx, dass
x H Ax = x H ˜RH ˜Rx = y H y > 0 ,
falls y ≠ o. Dabei bedingt y = o wieder, dass x = o ist. Also ist A
positiv definit.
Damit ist folgender Satz bewiesen:
Satz 3.8 Eine reell symmetrische oder Hermitesche Matrix A
ist genau dann positiv definit, wenn sie eine Cholesky-Zerlegung
(3.65) hat, worin ˜R eine (reelle bzw. komplexe) Rechtsdreiecksmatrix
mit positiven Diagonalelementen ist.
Es gibt wiederum verschiedene Varianten der Berechnung von ˜R:
zeilenweise mit Berechnung des Schurkomplementes (analog zum
Gauss-Algorithmus 1.1), oder zeilenweise direkt (analog zur LR–
Zerlegung in Algorithmus 3.1, oder auf ähnliche Art kolonnenweise,
oder durch Updating wie in Algorithmus 3.3. Die zeilenweise
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-17