Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
durch Reduktion auf Zeilenstufenform zu lösen. Vertauscht man im ersten
Systems keine, im zweiten System die erste mit der dritten Zeile,
so ergibt sich:
✎☞ ξ 1 ξ 2 ξ 3 1
4
✍✌ −1 3 0
0 0 0 0
0 0 0 0
✎☞ ξ 1 ξ 2 ξ 3 1
−4
✍✌✎☞ 1 −2 0
0 1
✍✌ 2 0
0 0 0 0
Das System links hat Rang 1 und die linear unabhängigen Lösungen
v 1 = ( 1 4 0 ) T und v2 = ( 3 0 −4 ) T . Man kann in v2 statt
die zweite die erste Komponente null setzen und bekommt dann v 2 =
(
0 3 1
) T. Das System rechts hat Rang 2 und zum Beispiel die
Lösung v 3 = ( −1 −2 1 ) T . Wir erhalten also zu den Eigenwerten
(9.16) die drei Eigenvektoren
⎛
v 1 = ⎝
1
4
0
⎞
⎛
⎠ , v 2 = ⎝
0
3
1
⎞
⎛
⎠ , v 3 = ⎝
−1
−2
1
⎞
⎠ . (9.17)
Wir weisen noch darauf hin, dass die Matrix (9.15) des Beispiels 9.6
singulär ist. Es gilt nämlich allgemein:
Lemma 9.6 Eine (quadratische) Matrix A ist genau dann singulär,
wenn sie 0 als Eigenwert hat:
A singulär ⇐⇒ 0 ∈ σ(A) .
Beweis: Nach Satz 1.7 ist A genau dann singulär, wenn das homogene
System Ax = o eine nichttriviale Lösung x hat. Dies ist aber gleichbedeutend
damit, dass x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist.
Alternativer Beweis: Nach Satz 8.5 ist A genau dann singulär, wenn
det A = 0. Dies bedeutet aber nach (9.10), dass der konstante Term im
charakterischen Polynom verschwindet, dieses also 0 als Nullstelle hat,
was nach Satz 9.5 heisst, dass 0 Eigenwert von A ist.
LA-Skript 9-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht