Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 4 — Vektorräume
Beispiel 4.4: Der Raum P m aller Polynome vom Grad ≤ m [polynomials
of degree ≤ m] mit reellen Koeffizienten,
p(t) :≡ a 0 + a 1 t + · · · + a m t m , q(t) :≡ b 0 + b 1 t + · · · + b m t m , . . .
mit der Addition
(p + q)(t) :≡ (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 ) t + · · · + (a m + b m ) t m (4.3a)
und der skalaren Multiplikation:
(αp)(t) :≡ (αa 0 ) + (αa 1 ) t + · · · + (αa m ) t m .
(4.3b)
Dies ist eine “algebraische” Definition der Addition und skalaren Multiplikation
für Polynome. Die Potenzen 1, t, . . . , t m sind nur “Platzhalter”;
es wird nicht benützt, dass man für x einen reellen Wert einsetzen und
so einen Funktionswert p(x) berechnen kann. Wir könnten (4.3a), (4.3b)
durch (4.2a), (4.2b) (mit p statt f, q statt g) ersetzen, was eine “analytische”
Definition ergäbe.
Mit (4.3a), (4.3b) ist P m “äquivalent” zu R m+1 ; mit (4.2a), (4.2b) ist
P m dagegen ein “Teilraum” von C(R). Die genauere Bedeutung von
“äquivalent” und “Teilraum” folgt später.
P 0 ist der Raum der Polynome vom Grade 0, das heisst der reellen
Konstanten. Er ist offensichtlich “äquivalent” zu R 1 , das heisst zu den
reellen Zahlen aufgefasst als Vektorraum.
Beispiel 4.5:
Auch die Menge aller Polynome,
P :≡
∞⋃
m=0
P m (4.4)
(die Vereinigung aller Mengen P m ) ist zusammen mit der durch (4.3a)
und (4.3b) definierten Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum.
(Bei der Addition muss man m gleich dem grösseren der zwei
Grade von p und q wählen.) Zu P gehören Polynome beliebig hohen
Grades, jedoch keine nichtabbrechenden Potenzreihen.
Polynome könnte man natürlich auch miteinander multiplizieren, aber
diese Operation lassen wir hier ausser acht. Lässt man sie anstelle der
skalaren Multiplikation zu, so bilden die Polynome einen Ring mit Eins
(die Konstante 1), vgl. Seite 2-9. Anders als der Ring der n × n Matrizen
ist dieser jetzt aber kommutativ (weil die Polynom-Multiplikation
kommutativ ist: p(t)q(t) = q(t)p(t)) und hat keine Nullteiler. Er hat
damit die gleichen Grundeigenschaften wie der Ring der ganzen Zahlen.
Beispiel 4.6: Der Raum l der rellen Zahlfolgen {x k } ∞ k=0
mit gliedweiser
Addition
{x k } + {y k } :≡ {x k + y k } (4.5a)
und gliedweiser skalarer Multiplikation
α{x k } :≡ {αx k } .
(4.5b)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 4-3