Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 11 — Singulärwertzerlegung Lineare Algebra (2007)
Bemerkung: Man beachte, dass gemäss (11.11c) die Singulärwertzerlegung
(ähnlich wie die Eigenwertzerlegung einer diagonalisierbaren
quadratischen Matrix) eine additive Zerlegung einer beliebigen
Matrix A in eine Summe von r Rang-1–Matrizen liefert.
Ist r ≪ min{m, n}, so ergibt diese eine effiziente Art der Berechung
von Matrix-Vektor-Produkten Ax.
Beispiel 11.1:
Es sei
A :=
⎛
⎜
⎝
68 −74
14 −52
46 −28
−17 −44
⎞
⎟
⎠ , (11.13)
also
AA T =
A T A =
⎛
⎜
⎝
( 7225 −6300
−6300 10900
)
,
10100 4800 5200 2100
4800 2900 2100 2050
5200 2100 2900 450
2100 2050 450 2225
⎞
⎟
⎠ .
Die Eigenwertzerlegung von A T A und AA T liefert die folgenden, in
(11.11d) auftretenden Matrizen:
Σ n = diag (125, 50) , Σ m = diag (125, 50, 0, 0) ,
U =
⎛
⎜
⎝
V =
( 0.60 0.80
−0.80 0.60
)
,
0.8000 0.2000 −0.5488 0.1372
0.4000 −0.4000 0.5831 0.5831
0.4000 0.4000 0.5831 −0.5831
0.2000 −0.8000 −0.1372 −0.5488
⎞
⎟
⎠ ,
wobei in U die letzten beiden Kolonnen auf vier Stellen nach dem Komma
gerundet sind.
Die 2 × 2–Matrix A T A hat also die Eigenwerte σ 2 1 = 1252 = 15625 und
σ 2 2 = 502 = 2500, wogegen die 4 × 4–Matrix AA T die Eigenwerte 15625,
2500, 0, 0 hat. Insbesondere ist Rang A T A = Rang AA T = 2.
Während Σ n und Σ m quadratische Diagonalmatrizen sind, hat die Matrix
Σ in der Singulärwertzerlegung (11.11c) die gleiche Form wie A.
Dabei ist der quadratische Block Σ r hier wegen r = n = 2 gleich Σ n :
Σ =
⎛
⎜
⎝
125 0
0 50
0 0
0 0
⎞
⎟
⎠ .
Die Singulärwertzerlegung (11.11c) ergibt sich damit hier als
LA-Skript 11-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht