Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Algebra (2007)
Korollar 9.10 Ist A diagonalisierbar und zerlegen wir die Matrizen
V und V −1 aus der Spektralzerlegung A = VΛV −1 in
Kolonnen- bzw. Zeilenvektoren,
⎛ ⎞
V = ( v 1 · · · v n
)
, V −1 =
⎜
⎝
w T 1
.
w T n
⎟
⎠ , (9.24)
so lässt sich A als Summe von n Rang-1–Matrizen darstellen:
A =
n∑
v k λ k wk T . (9.25)
k=1
Dabei gilt Av k = v k λ k und w T k A = λ kw T k .
Definition: Ein Vektor w, für den gilt w T A = λ k w T , heisst
linker Eigenvektor [left eigenvector] von A.
Beispiel 9.7: Die Matrix-Gleichung
⎛
−7 2
⎞ ⎛
−6 1 0
⎞
−1
⎛
⎝ 12 −2 12 ⎠ ⎝ 4 3 0 ⎠ = ⎝
}
12 −3
{{
11
} }
0 1
{{
1
}
A
V
1 0 −1
4 3 0
0 1 1
} {{ }
V
⎞ ⎛
⎠ ⎝
1 0 0
0 2 0
0 0 −1
⎞
⎠
} {{ }
Λ
ist gleichwertig mit den Beziehungen Av k = v k λ k (k = 1, . . . , 3), wenn
λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = −1 und
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
−1
v 1 = ⎝ 4 ⎠ , v 2 = ⎝ 3 ⎠ , v 3 = ⎝ 0 ⎠ .
0
1
1
Zudem ist
⎛
V −1 = ⎝
1 0 −1
4 3 0
0 1 1
⎞
⎠
−1
⎛
= ⎝
−3 1 −3
4 −1 4
−4 1 −3
⎞
⎠ ,
also
⎛
A = ⎝
1 0 −1
4 3 0
0 1 1
} {{ }
V
⎞ ⎛
⎠ ⎝
1 0 0
0 2 0
0 0 −1
} {{ }
Λ
⎞ ⎛
.
−3 1 −3
4 −1 4 ⎠
V −1
}
−4 1
{{
−3
}
⎠ ⎝
Die Zerlegung (9.24) in Rang-1–Matrizen lautet hier
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
A = ⎝ 4 ⎠ ( −3 1 −3 ) 0
+ ⎝ 3 ⎠ 2 ( 4 −1 4 )
0
1
⎛
− ⎝
−1
0
1
⎞
⎠ ( −4 1 −3 ) ,
⎞
LA-Skript 9-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht