Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Die Nullmatrix in Teil (i) des Satzes ist natürlich jene, die wir
bereits in Abschnitt 2.1 erwähnt haben.
Teil (iii) des Satzes könnte man im Prinzip auch aus den Teilen
(i) und (ii) und der Assoziativität der Addition (2.11) herleiten.
Die Bedeutung von Teil (iii) liegt darin, dass er auf die genaue
Definition der Matrixsubtraktion führt:
B − A :≡ X , wo X Lösung von (2.18). (2.19)
Bemerkungen:
1) Beschränken wir uns auf die Matrixaddition, so gelten die Regeln
(2.11), (2.16) und (2.17) für beliebige Elemente der Menge der m ×
n–Matrizen. Das bedeutet dass diese Menge bezüglich der Addition
eine Gruppe [group] bildet, die wegen der Kommutativität (2.10)
der Addition sogar kommutativ [commutative] oder sogenannt
Abelsch 5 [Abelian] ist.
2) Beschränken wir uns auf die Menge der quadratischen Matrizen
der Ordnung n, so gelten die Eigenschaften aus den Sätzen 2.1 und
2.2 für beliebige Elemente dieser Menge. Die Eigenschaften (2.10)–
(2.14) und (2.16)–(2.17) bedeuten dabei gerade, dass diese Menge
(bezüglich Addition und Multiplikation) einen sogenannten Ring
[ring] Matrizen bildet, der wegen (2.15) nicht-kommutativ [noncommutative]
ist, falls n > 1. Weil I n A = AI n = A für jede n × n–
Matrix A, sagt man genauer auch, dass die Menge einen Ring mit
Eins [ring with identity] bildet.
3) Für reelle und komplexe Zahlen folgt aus αβ = 0, dass α = 0
oder β = 0 sein muss. Beim Matrizenprodukt (2.5) ist das nicht
der Fall, wenn n > 0 ist. Auch dann nicht, wenn man sich auf
quadratische Matrizen beschränkt. Zwei n × n Matrizen A und B
mit AB = O heissen Nullteiler [divisor of zero].
Beispiel 2.11:
Wegen
(
1 −1
) ( 1
1
)
= 0
ist klar, dass
( ) ( ) ( )
1 −1 1 2 0 0
= .
3 −3 1 2 0 0
} {{ } } {{ } } {{ }
A B O
4) Nach den Bemerkungen 2) und 3) bilden die rellen n × n Matrizen
(n > 1) also einen nicht-kommutativen Ring mit Eins und
Nullteilern.
5 Niels Henrik Abel (5.8.1802 – 6.4.1829), Norwegischer Mathematiker,
bewies z.B. 1824, dass im allgemeinen eine Gleichung 5. Grades nicht durch
Wurzelziehen lösbar ist.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-9