Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
Beweis (2. Version): Bei Anwendung der Definition (8.6) bekommt
man durch Umnummerierung der Indizes
det A T = ∑
(sign p) a p(1),1 a p(2),2 · · · a p(n),n
p∈S n
= ∑
(sign p −1 ) a 1,p −1 (1) a 2,p −1 (2) · · · a n,p −1 (n)
p −1 ∈S n
= ∑˜p∈S n
(sign ˜p) a 1,˜p(1) a 2,˜p(2) · · · a n,˜p(n)
= det A .
Man beachte, dass det A T = det A auch für komplexe Matrizen
gilt.
Beispiel 8.7: Für unitäres U ist 1 = det I = det U det U H = |det U| 2 ,
also
|det U| = 1 .
Für orthogonale Matrizen Q hat man speziell
det Q = ±1 .
Aus Satz 8.9 folgt nun unmittelbar:
Korollar 8.10 Die Eigenschaften (i) und (ii) aus Satz 8.3 sowie
die Eigenschaften (iv), (vi) und (vii) aus Satz 8.4 gelten auch,
wenn man “Zeile” durch “Kolonne” ersetzt.
8.3 Entwicklung nach Zeilen und Kolonnen
Schliesslich wollen wir eine weitere Möglichkeit der rekursiven Berechnung
der Determinante herleiten, die allerdings nur in Spezialfällen
effizient ist, aber in solchen Fällen interessante Formeln und
Zusammenhänge liefern kann.
Definition: Zu jedem Element a kl einer n × n–Matrix A werde
die (n − 1) × (n − 1)–Untermatrix A [k,l] definiert durch Streichen
der Zeile k und der Kolonne l von A. Der Kofaktor [cofactor] κ kl
von a kl ist dann die Zahl
Beispiel 8.8:
Dann ist
A [2,1] =
( 2 1
4 3
Es sei
κ kl :≡ (−1) k+l det A [k,l] . (8.15)
⎛
A = ⎝
5 2 1
3 6 2
1 4 3
)
, κ 21 = (−1) 3 ∣ ∣∣∣ 2 1
4 3
⎞
⎠ .
∣ = −(2 · 3 − 4 · 1) = −2 .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-9