Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Beispiel 6.1: Auf dem in Beispiel 4.2 betrachteten Raum C[a, b] der
auf dem Intervall [a, b] definierten und dort stetigen reell- oder komplexwertigen
1 Funktionen werden durch
und
‖f‖ 1 :≡
∫ b
a
|f(t)| dt (6.3)
‖f‖ ∞ :≡ max |f(t)| (6.4)
t∈[a,b]
zwei verschiedene Normen definiert, die L 1 –Norm und die L ∞ –Norm.
Die zweite heisst auch Maximumnorm [maximum norm]. Ersetzt man
in (6.4) das Maximum durch ein Supremum, so können beide Normen
auch auf einem “grösseren”, unstetige Funktionen enthaltenden Vektorraum
definiert werden.
6.2 Vektorräume mit Skalarprodukt
Definition: Ein Skalarprodukt [inner product] in einem rellen
oder komplexen Vektorraum ist eine Funktion von zwei Variablen
mit folgenden Eigenschaften:
〈·, ·〉 : V × V → E, x, y ↦−→ 〈x, y〉 (6.5)
(S1) Es ist linear im zweiten Faktor:
〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉 für alle x, y, z ∈ V,
〈x, α y〉 = α 〈x, y〉 für alle x, y ∈ V, α ∈ E .
(S2) Falls E = R, ist es symmetrisch:
〈x, y〉 = 〈y, x〉 für alle x, y ∈ V.
Falls E = C, ist es Hermitesch:
〈x, y〉 = 〈y, x〉 für alle x, y ∈ V.
(S3) Es ist positiv definit:
〈x, x〉 ≥ 0 für alle x ∈ V,
〈x, x〉 = 0 =⇒ x = o .
V mit 〈·, ·〉 ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt [inner product
space]. Ist V endlichdimensional, nennt man V auch
• falls E = R: Euklidischer Vektorraum 2 [Euclidean vector
space] oder orthogonaler Vektorraum,
• falls E = C: unitärer Vektorraum [unitary vector space].
1 In diesem Kapitel wollen wir explizit den Fall komplexwertiger Funktionen
berücksichtigen, da sie die Modifikation einiger Formeln erfordern.
2 Euklidische Vektorräume sind also Verallgemeinerungen des R n bzw. C n .
Letztere haben wir als rellen bzw. komplexen n–dimensionalen Euklidischen
Raum bezeichnet.
LA-Skript 6-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht