Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Beispiele 2.8:
( 5 2
−1 −5
( 1 2 3
4 5 6
)
+
) ( ) ( )
−1 1 4 3
+
= ,
6 5 5 0
( ) ( 0.9 0.8 0.7 1.9 2.8 3.7
=
0.6 0.5 0.4 4.6 5.5 6.4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 3
⎝ −1 ⎠ + ⎝ 5 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ .
−3 9 6
)
,
Im Gegensatz zur Summe ist das Produkt zweier Matrizen nicht
etwa durch elementweise Multiplikation definiert; eine solche Operation
würde in Anwendungen nur äusserst selten gebraucht.
Definition der Multiplikation zweier Matrizen: Eine m × n–
Matrix A kann mit einer n×p–Matrix B multipliziert [multiplied]
werden, indem man die Elemente des resultierenden Produktes
[product] AB wie folgt definiert:
(AB) ij :≡
n∑
(A) ik (B) kj
k=1
= (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2j + · · · + (A) in (B) nj
(i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , p) .
Das Produkt C :≡ AB ist also eine m × p–Matrix, die — in einfacherer
Notation — berechnet wird gemäss
n∑
c ij :≡ a ik b kj
k=1
= a i1 b 1j + a i2 b 2j + · · · + a in b nj
(2.5)
(i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , p) .
Das Produkt AB kann also nur gebildet werden, wenn die Anzahl
Kolonnen von A mit der Anzahl Zeilen von B übereinstimmt. Es
lässt sich wie folgt veranschaulichen:
i–te Zeile →
m
A
n
× × × × × ×
×
n
×
×
×
×
×
×
B
p
↑ j–te
Kolonne
=
m
×
p
(AB) ij
← i–te Zeile
AB
↑ j–te Kolonne
Das Element (AB) ij in der i–ten Zeile und der j–ten Spalte von
AB bekommt man also, indem man die i–te Zeile der Matrix A
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-5