Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Algorithmus 9.1 (Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
via charakteristisches Polynom)
Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix A ∈ C n×n zu
bestimmen, kann man theoretisch wie folgt vorgehen:
1. Berechnung des charakteristischen Polynoms χ A ,
χ A (λ) :≡ det (A − λI) .
2. Berechnung der n Nullstellen λ 1 , . . . , λ n von χ A . Die Vielfachheit
einer Nullstelle ist gleich der algebraischen Vielfachheit
dieses Eigenwertes.
3. Für jeden verschiedenen Eigenwert λ k : Bestimmung einer
Basis des Kernes von A − λ k I, des Eigenraumes zu λ k .
Das heisst Berechnung (maximal vieler) linear unabhängiger
Lösungen des singulären homogenen Gleichungssystems
(A − λ k I) v = o .
Dazu reduziert man A − λ k I mit dem Gauss-Algorithmus
auf Zeilenstufenform und wählt von den n − r freien Parametern
der Reihe nach immer einen ≠ 0 und die anderen
0. Die Dimension n − r des Lösungsraumes ist gleich der
geometrischen Vielfachheit dieses Eigenwertes.
Beispiel 9.6:
wird
Für die Matrix
⎛
⎞
5 −1 3
A = ⎝ 8 −1 6 ⎠ (9.15)
−4 1 −2
χ A (λ) =
∣
5 − λ −1 3
8 −1 − λ 6
−4 1 −2 − λ
= (5 − λ)(−1 − λ)(−2 − λ) + 12(−1 − λ)
− 6(5 − λ) + 8(−2 − λ) + 24 + 24
= −λ ( λ 2 − 2λ + 1 ) .
Die charakteristische Gleichung lässt sich also schreiben als
d.h. die Eigenwerte sind
0 = −λ ( λ 2 − 2λ + 1 ) = −λ (λ − 1) 2 ,
λ 1 = 1 , λ 2 = 1 , λ 3 = 0 . (9.16)
Zur Bestimmung der Eigenvektoren sind nacheinander die zwei homogenen
Gleichungssysteme
∣
ξ 1 ξ 2 ξ 3 1
4 −1 3 0
8 −2 6 0
−4 1 −3 0
ξ 1 ξ 2 ξ 3 1
5 −1 3 0
8 −1 6 0
−4 1 −2 0
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-7