Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
Satz 9.14 Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn für
jeden Eigenwert die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit
ist.
Beweis von Satz 9.13: Es sei λ 0 ein fester Eigenwert mit geometrischer
Vielfachheit ν. Wir wählen nun eine Basis v 1 , . . . , v ν ∈ E n von E λ0 aus,
die wir nach Satz 4.9 zu einer Basis v 1 , . . . , v n von E n ergänzen können,
welche die Kolonnen einer regulären Matrix V liefert. Es ist dann
AV = A ( )
v 1 . . . v n
= ( Av 1 . . . Av ν Av ν+1 . . . Av n
)
= ( v 1 λ 0 . . . v ν λ 0 Av ν+1 . . . Av n
)
.
Wegen V −1 v k = e k folgt, dass C :≡ V −1 AV folgende Form hat:
C :≡ V −1 AV
= ( e 1 λ 0 . . . e ν λ 0 V −1 Av ν+1 . . . V −1 )
Av n
( )
λ0 I
= ν E
.
O F
Aus der Formel (8.6) für die Determinante kann man sehen, dass gilt
( )
(λ0 − λ)I
det (C − λI) =det
ν E
O F − λI n−ν
=det ( (λ 0 − λ)I ν
)
det (F − λIn−ν ) ,
also nach Satz 9.7 und Determinanten-Eigenschaft v) aus Lemma 8.4
χ A (λ) = χ C (λ) = det (C − λI) = (λ 0 − λ) ν det (F − λI n−ν ) .
Wir schliessen daraus, dass λ 0 als Eigenwert von A mindestens die algebraische
Vielfachheit ν hat.
Beweis von Satz 9.14: Aus Lemma 9.8 wissen wir bereits, dass eine
diagonale Abbildungsmatrix genau dann existiert, wenn es eine Eigenbasis
gibt. Es gebe m verschiedene Eigenvektoren. Wir wählen nun in
jedem Eigenraum E λk (k = 1, . . . , m) eine Basis {v k,j ; j = 1, . . . , ν k }.
Sind für alle Eigenwerte geometrische und algebraische Vielfachheit gleich,
so ist ν 1 + · · · + ν m = n, und wir behaupten, dass alle diese n Basisvektoren
linear unabhängig sind. Ist nämlich
m∑ ∑ν k
v k,j γ k,j = o , (9.27)
} {{ }
≡: c k
k=1 j=1
so sind die in verschiedenen Eigenräumen liegenden Vektoren c k ja entweder
Eigenvektoren zu λ k oder Nullvektoren. Wegen (9.27), das heisst
c 1 + · · · + c m = o, folgt aus Satz 9.11 aber, dass sie das letztere sein
müssen. Aus der Definition von c k sieht man dann, dass alle Koeffizienten
γ k,j null sein müssen, denn die v k,j sind ja Basisvektoren des
k-ten Eigenraumes. Wir schliessen, dass alle Vektoren v k,j zusammen
eine Eigenbasis bilden.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-15