Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt
Ausblick: Wie wir schon in Kapitel 4, Satz 4.11, erwähnt haben,
gibt es in jedem Vektorraum (ausser {o}) eine Basis gemäss
unserer Definition, aber diese Definition führt nur in Räumen wie
l 0 und P mit abzählbarer Basis weiter, nicht aber für die grossen“ ”
Funktionenräume, wie l oder C[a, b].
Man verwendet für die meisten unendlich-dimensionalen Räume in
der Mathematik eine andere Definition von Erzeugendensystem und
Basis. Die Vektoren werden als unendliche Linearkombinationen der
Basisvektoren dargestellt, d.h. als Reihe. Dabei müssen diese Reihen
in einem gewissen Sinne konvergieren. Notwendig für eine Definition
der Konvergenz ist, dass ein Mass für die Differenz (ein Abstand)
zweier Vektoren (bzw. Funktionen) eingeführt werden kann oder
zumindest ein Umgebungsbegriff. Ein entsprechender Vektorraum
heisst 8
i) topologischer Vektorraum [topological vector space] (mit
Umgebungsbegriff),
ii) Banachraum 9 [Banach space] (mit Vektornorm) oder
iii) Hilbertraum 10 [Hilbert space] (mit Skalarprodukt und zugehöriger
Vektornorm).
In den wichtigen Beispielen sind die in diesen Räumen verwendeten
Basen abzählbar unendlich gross, aber i.a. viel “kleiner” als eine
Vektorraumbasis, weil jeder Vektor ja nur als unendliche Linarkombination
von Basisvektoren darstellbar sein muss, nicht als endliche
Linearkombination.
Beispiel 6.7: Der Hilbertraum l 2 der quadrat-summierbaren Folgen
[square summable series] ist definiert als Vektorraum der Folgen
∞∑
x = {x k } ∞ k=0
mit |x k | 2 < ∞ (6.29)
mit dem Skalarprodukt
und der Norm
〈x, y〉 =
k=0
∞∑
x k y k (6.30)
k=0
∑
‖x‖ = √ ∞ |x k | 2 . (6.31)
Die Zahlfolgen e k (1 ≤ k < ∞) aus Beispiel 4.23 bilden eine Hilbertraum-Basis:
jedes x ∈ l 2 ist ja eine unendliche Linearkombination dieser
Basisvektoren: x = ∑ x k e k .
k=0
8 Bei Banach- und Hilberträumen wird noch verlangt, dass sie vollständig
[complete] sind, das heisst, dass mit jeder konvergierenden Folge von Vektoren
auch deren Grenzwert im Raum liegt.
9 Stefan Banach (30.3.1892 – 31.8.1945), polnischer Mathematiker, ab
1922 Professor in Lwów.
10 David Hilbert (23.1.1862 – 14.2.1943), deutscher Mathematiker, ab 1895
Professor in Göttingen, das dank ihm neben Berlin zum zweiten deutschen
mathematischen Zentrum wurde.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 6-11