Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 1.4:
0
1
1
0
1
0
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 ♠ 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 0 0 5 0 24 16 8 6 12
1 5 9 3 6 1 0 1 0 3
1 10 13 11 8 6 3 1 2 8
0 5 4 18 2 18 12 2 7 13
1 10 13 21 8 24 16 5 8 19
0 5 4 13 2 24 17 6 7 16
(1.17)
Das ist ein System von sieben Gleichungen in neun Unbekannten. Damit
es überhaupt auf die Seite passt, haben wir es direkt als Eliminationsschema
hingeschrieben. Da es darin mehr Unbekannte als Gleichungen
gibt, dürfen wir erwarten, dass das System eine ganze Schar von
Lösungen hat. Es wäre allerdings auch in dieser Situation möglich, dass
es keine Lösung gibt, was allerdings ein ganz besonderer Ausnahmefall
wäre, wie wir in Kürze sehen werden.
Wir haben durch den Kreis bereits angedeuetet, dass wir a 11 = 1 als
erstes Pivot wählen wollen, und wir haben die entsprechenden Faktoren
für den ersten Eliminationsschritt links angefügt. Er liefert das folgende
zweite Schema:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 0 0 5 0 24 16 8 6 12
0 5 4 3 2 1 0 0 0 2
0 10 8 11 4 6 3 0 2 7
0 5 4 18 2 18 12 2 7 13
0 10 8 21 4 24 16 4 8 18
0 5 4 13 2 24 17 6 7 16
Nun ist im Restgleichungssystem allerdings das erste Element der vordersten
Kolonne null, also nicht als Pivot brauchbar. Die Vertauschung
der zweiten und dritten Zeile (d.h. der ersten und zweiten Gleichung
des Restgleichungssystems) liefert ein modifizertes zweites Schema mit
Pivotelement 5 in der linken oberen Ecke. Die für den zweiten Eliminationsschritt
nötigen Faktoren schreiben wir wieder links hin:
0
2
1
2
1
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 5 ♠ 4 3 2 1 0 0 0 2
0 0 0 5 0 24 16 8 6 12
0 10 8 11 4 6 3 0 2 7
0 5 4 18 2 18 12 2 7 13
0 10 8 21 4 24 16 4 8 18
0 5 4 13 2 24 17 6 7 16
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-11