Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 11 — Singulärwertzerlegung Lineare Algebra (2007)
Beweis: Die Aussage folgt sofort aus (11.11f) und der Tatsache, dass
die unitären Matrizen U und V orthogonale Kolonnen haben.
Die Unterräume R(A) ⊥ N (A H ) ⊆ E m und N (A) ⊥ R(A H ) ⊆ E n ,
die in Korollar 11.3 vorkommen und für die die Singulärwertzerlegung
gemäss (11.11f) orthonormale Basen liefert, sind gerade die
vier fundamentalen Unterräume der Matrix A, die wir bereits in
Abschnitt 6.4 angetroffen haben. Weiter folgt sofort:
Korollar 11.4 Es sei A ∈ E m×n , Rang A = r. Dann sind die
r positiven Eigenwerte von A H A und AA H gleich, aber die Vielfachheit
des Eigenwertes 0 ist n − r bzw. m − r.
Beweis:
Dass die nicht-null Eigenwerte gleich sind, folgt aus (11.11d).
Nun lassen sich auch Satz 10.7 über die Spektralnorm und Korollar
10.10 über die entsprechende Konditionszahl neu formulieren:
Korollar 11.5 Für die Spektralnorm einer Matrix A ∈ E n×n gilt
‖A‖ 2 = σ 1 . (11.17)
Ist A regulär, so gilt für die (der Spektralnorm zugeordnete) Konditionszahl
von A ∈ E n×n κ 2 (A) = σ 1
σ n
. (11.18)
Die wohl wichtigste Anwendung der Singulärwertzerlegung ist eine
beste Approximationseigenschaft der Teilsummen der Summe in
(11.11e). Wir formulieren sie nur für quadratische Matrizen, sie gilt
aber auch für andere, wenn man für diese die 2–Norm geeignet
definiert. Wir verzichten auf den Beweis.
Satz 11.6 Die Matrix A ∈ E n×n habe die Singulärwertzerlegung
(11.11e) (mit m = n), und für p = 1, . . . , r sei
A p =
p∑
u k σ k vk H . (11.19)
k=1
Dann ist A p im Sinne der Spektralnorm die beste Approximation
von A durch eine Matrix vom Rang p, das heisst es gilt
‖A − A p ‖ 2 = min ‖A − B‖ 2 , (11.20)
wenn über alle Matrizen B ∈ E n×n vom Rang p minimiert wird.
Dabei ist
‖A − A p ‖ 2 = σ p+1 . (11.21)
Diese Approximationseigenschaft kann insbesondere auch für die
Datenkompression eingesetzt werden.
LA-Skript 11-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht